Равномерная сходимость ряда.

[Jiggy]

Нахожусь в тупике с одной задачей.
Необходимо исследовать на равномерную сходимость ряд $\sum\limits_{1}^{\infty}\frac{\sin(\frac{n \cdot x}{2}) \cdot \sin(\frac{3 \cdot n \cdot x}{2})}{n+x}$ на 2 промежутках.
1. $[0+\varepsilon ; \pi/2] $
2. $(0; \pi/2) $

Как делаю я.
В 1 случае вроде получилось доказать равномерную сходимоть по признаку Дирихле-Абеля.
$|\sin(\frac{n \cdot x}{2}) \cdot \sin(\frac{3 \cdot n \cdot x}{2})| = |1/2 \cdot (\cos(x) + ... + \cos(nx)) - 1/2 \cdot (\cos(2x) + ... + \cos(2nx))| \leqslant |1/2 \cdot (\cos(x) + ... + \cos(nx))| + |1/2 \cdot (\cos(2x) + ... + \cos(2nx))| \leqslant 1/2 \cdot (\frac{1}{|\sin(x/2)|} + \frac{1}{|\sin(x)|}) = 1/2 \cdot (\frac{2 \cdot |\cos(x/2)| + 1}{|\sin(x)|}) \leqslant \frac{3}{2 \cdot |\sin(x)|} \leqslant \frac{3}{2 \cdot \sin(\varepsilon)} $
И к тому же поледовательность ${\frac{1}{x+n}}$ сходится к 0 равномерно, т.е ряд сходится равномерно на промежутке (1)

Во 2 случае ряд скорее всего будет расходится. Скорее всего нужно доказывать это через отрицание критерия Коши. Думал сверху ограничить произведение синусов квадратом произведения синусов, ну а что делать дальше я не знаю(
Что думаете?

[provincialka]

Jiggy в сообщении #931884 писал(а):

Думал сверху ограничить произведение синусов

Зачем сверху, если расходимость?

Не додумывала до конца, но можно попробовать такую идею: подобрать настолько малые $x$, что синусы (или их произведение) будут иметь постоянный знак (отделены от 0) на достаточно большом промежутке. Тогда сумма этого отрезка ряда будет пропорциональна сумме отрезка гармонического ряда.

[Jiggy]

provincialka в сообщении #931888 писал(а):

Зачем сверху, если расходимость?

Не додумывала до конца, но можно попробовать такую идею: подобрать настолько малые $x$, что синусы (или их произведение) будут иметь постоянный знак (отделены от 0) на достаточно большом промежутке. Тогда сумма этого отрезка ряда будет пропорциональна сумме отрезка гармонического ряда.

Снизу точнее)
Сейчас попробую