В ДУ второго порядка потерялась константа

[tetroel]

Добрый день/вечер/ночь/другое.
Я столкнулся с некоторой проблемой при попытке решить уравнение $yy'y''={y'}^{3}+{y''}^{2}$

Основную часть работы я проделал, получил решение в двух разных видах, но во втором случае нет второй константы. Возможно, я просто загоняюсь, но сработал рефлекс: "Уравнение второго порядка равно две константы"
При решении я свожу это уравнение к ур-ию Клеро, откуда при "обычном" решении выходит первое решение: $y=C_1+C_2e^{C_1x}$

Второе же решение получается как особое решение уравнения Клеро, что после обратной замены выглядит как $y=\frac{-4}{x+C_1}$, и вот тут-то второй константы не наблюдается.
В принципе, я могу связать её(константы) отсутствие с тем, что особое решение уравнения Клеро нашлось через исключение параметра из системы, но всё же...

Обе функции подставлял в Mathematica в исходное уравнение, они являются решением.

Собственно, вопрос такой: почему нет второй константы во втором решении, и нормально ли это?

[Otta]

tetroel в сообщении #931497 писал(а):

нет второй константы во втором решении, и нормально ли это?

В особом-то? Конечно.

[tetroel]

Ага, то есть, дело в "экстравагантности", и у меня всё хорошо? Успокоили. Спасибо.

[Otta]

Причем тут экстравагантность )) ну смотрите сами на стандартное уравнение Клеро, первого порядка. У него есть некое множество интегральных кривых общего типа, а есть одна другого - являющаяся огибающей кривой этого семейства. Ну так ведь она одна, общая для всех остальных и ни от какой константы, стало быть не зависит.

А у Вас здесь понижение порядка, по сути.