Калибровочная инвариантность

[limarodessa]

Доброго времени суток

У меня следующая проблема. Очень хотелось бы разобраться с тем что из себя представляет калибровочная инвариантность. Но для меня как для неспециалиста этот раздел является камнем преткновения. Лопатил массу литературы чтобы найти более-менее доходчивые изложения, но - пока что увы. Одним из источников в котором как мне показалось показательно продемонстрировано явление калибровочной инвариантности является вот этот(стр. 520)

Поэтому был бы очень признателен если бы как можно детальнее иподробнее как неспециалисту растолковали мне процитированный ниже абзац (если кто приведет еще графические иллюстрации из инета вообще было бы здорово ). Что такое группы сисмметрии и как они выглядят в виде матриц и что такое абелевы-неабелевы знаю.

Цитата:

...лагранжиан очевидным образом инвариантен относительно калибровочных преобразований

$\[\varphi \to {e^{i\theta (x)}}\varphi ,\]$ $\[{\varphi ^ + } \to {e^{ - i\theta (x)}}{\varphi ^ + },\]$

$\[{A_\mu } \to {A_\mu } + \frac{1}{e}\frac{{\partial \theta }}{{\partial {x^\mu }}}\]$. (10)

Таким образом, мы имеем случай симметрии относительно простейшей группы $\[U(1)\]$. При этом действительная и мнимая части поля $\[\varphi \]$ преобразуются следующим образом:

$\[\varphi _1^'\]$$\[ = \cos \theta {\varphi _1} - \sin \theta {\varphi _2},\]$

$\[\varphi _2^'\]$$\[ = \sin \theta {\varphi _1} + cos\theta {\varphi _2},\]$

т. е. имеется симметрия относительно вращения в плоскости $\[{\varphi _1},{\varphi _2}\]$ и нет никакого выделенного направления в этой плоскости. Очевидно, что у рассматриваемой задачи есть решение, которое удовлетворяет исходной симметрии и имеет нормальный вакуум такой, что

$\[\left\langle 0 \right|{\varphi _1}\left| 0 \right\rangle = \left\langle 0 \right|{\varphi _2}\left| 0 \right\rangle = 0.\]$

[Munin]

limarodessa в сообщении #929895 писал(а):

Очень хотелось бы разобраться с тем что из себя представляет калибровочная инвариантность. Но для меня как для неспециалиста этот раздел является камнем преткновения. Лопатил массу литературы чтобы найти более-менее доходчивые изложения, но - пока что увы. Одним из источников в котором как мне показалось показательно продемонстрировано явление калибровочной инвариантности является вот этот (стр. 520)

Сначала читаете ЛЛ-2 параграф 18. Тщательно вкуриваете. Потом Рубакова Классические калибровочные поля. Если и после этого что-то непонятно - идёте к врачу.

limarodessa в сообщении #929895 писал(а):

Поэтому был бы очень признателен если бы как можно детальнее иподробнее как неспециалисту растолковали мне процитированный ниже абзац

Непонятно, что здесь надо растолковывать. В Рубакове всё это изложено очень подробно.

limarodessa в сообщении #929895 писал(а):

если кто приведет еще графические иллюстрации из инета вообще было бы здорово

Очень трудно приводить из инета бесконечномерные графические иллюстрации. Я бы и рад, но у меня Гугль тормозит и виснет ещё на попытке их найти и показать превьюшки.

-- 12.11.2014 04:26:15 --

А статью Логунова нет смысла читать без подготовки. Там всё крайне лаконично, на полстраничке умещается то, что Рубаков излагает студентам за несколько глав. И главное: у Логунова в 1977 году ещё "сырой, по свежим следам" способ изложения идеологии, не от симметрии лагранжиана, а от введения частиц и взаимодействий для "залатывания дыр" в соответствующей КТП. Поначалу, на момент создания калибровочных моделей, оно примерно так и выглядело, но потом наступило осознание общей стройной картины.

[limarodessa]

Munin в сообщении #929946 писал(а):

...читаете ... Потом Рубакова Классические калибровочные поля
... В Рубакове всё это изложено очень подробно....

Очень трудно приводить из инета бесконечномерные графические иллюстрации. Я бы и рад, но у меня Гугль тормозит и виснет ещё на попытке их найти и показать превьюшки...

"Почитал" Рубакова - второе издание - 2005 года двухтомное (в отличие от однотомного 1999). А что скажете по поводу 2-го издания 2000 года Коноплёва и Поповой "Калибровочные поля" (первое издание 1972 года устарело) ? Там помимо прочего есть и "графические иллюстрации". Пример с квадратным листом и глобусом (где-то на 9-й стр) ИМХО великолепен

[Munin]

limarodessa в сообщении #930318 писал(а):

"Почитал" Рубакова - второе издание - 2005 года двухтомное (в отличие от однотомного 1999).

Я люблю однотомное, там страницы большого формата. Но по содержанию, вроде бы, там почти ничего не изменилось (хвостик второго тома, разве что).

limarodessa в сообщении #930318 писал(а):

А что скажете по поводу 2-го издания 2000 года Коноплёва и Поповой "Калибровочные поля" (первое издание 1972 года устарело) ? Там помимо прочего есть и "графические иллюстрации". Пример с квадратным листом и глобусом (где-то на 9-й стр) ИМХО великолепен

Коноплёву-Попова я собирался рекомендовать вам в следующую очередь, после того, как вы Рубакова прочитаете. Замечательная книжка. Второе издание не видел, но не думаю, что там в первом издании есть чему устаревать.

Что-то вы быстро с Рубаковым "справились". Вы действительно всё поняли? Ну, хотя бы достаточно, чтобы процитированный отрывок из статьи Логунова - был вам полностью понятен?

-- 13.11.2014 07:56:57 --

Ну и чтобы жизнь мёдом не казалась:
Прохоров, Шабанов. Гамильтонова механика калибровочных систем.
Сарданашвили. 5-томник Современные методы теории поля. Том 1. Геометрия и классические поля.
Это скорее, чтобы "зубы обломать", положить на полку, и запланировать через несколько лет набраться достаточно сил, чтобы к ним вернуться.

[limarodessa]

Munin в сообщении #930362 писал(а):

Что-то вы быстро с Рубаковым "справились". Вы действительно всё поняли?

Нет конечно. Я же слово "почитал" не просто так взял в кавычки. А вообще - если по состоянию на 1977 год эту проблематику не могли до конца понять умы масштаба нобелевских лауреатов то не было бы несколько странным если бы мне вдруг всё стало по моему хотению в одночасье понятно ? В калибровочной инвариантности ИМХО сложно понимание того что такое ковариантная производная. Возможно я что то путаю но там кажется необходимы познания из дифференциальной геометрии

Munin в сообщении #930362 писал(а):

Ну и чтобы жизнь мёдом не казалась:
Прохоров, Шабанов. Гамильтонова механика калибровочных систем.
Сарданашвили. 5-томник Современные методы теории поля. Том 1. Геометрия и классические поля.

Сарданашвили пятитомник знаю. А вот за гамильтонову механику спасибо. Не помню уже если она в библиотеке на моем компе. Вообще гамильтонова и лагранжева механика вещи крайне в теории поля нужные и не всему ученому народу известные. В технических ВУЗах, например, словосочетание "классическая механика" может быть истолковано совершенно неверно. Там могут ассоциировать сие и с Ньютоновской механикой и с "теоретической механикой" но никак ни с тем что изложено в том числе в 1-м томе ЛЛ.

[Munin]

limarodessa в сообщении #930386 писал(а):

А вообще - если по состоянию на 1977 год эту проблематику не могли до конца понять умы масштаба нобелевских лауреатов

Мнэ, это вы про Логунова так? Перебор.

А вообще, каждый предмет сначала вообще никому не известен, потом до него едва додумываются, и он сложен для крупнейших умов, а потом с ним разбираются, научаются его просто излагать, представлять и использовать, и он становится доступен даже студентам-младшекурсникам. Архимед, например, интегрировать не умел (взял только несколько интегралов), а был самым великим среди своих современников, - его современный старшеклассник за пояс заткнёт.

limarodessa в сообщении #930386 писал(а):

В калибровочной инвариантности ИМХО сложно понимание того что такое ковариантная производная. Возможно я что то путаю но там кажется необходимы познания из дифференциальной геометрии

Да, но простейшие, в Рубакове всё объяснено.

limarodessa в сообщении #930386 писал(а):

Вообще гамильтонова и лагранжева механика вещи крайне в теории поля нужные и не всему ученому народу известные.

В теорфизике - всему. Это Ландау-Лифшиц 1-й том.

Но не обманывайтесь. Прохоров-Шабанов - это куда круче, чем гамильтонова и лагранжева механика. Это в одном флаконе сразу:
- калибровочные системы, то есть отличающиеся от обычных механических наличием нефизической циклической координаты, и / или связей;
- функциональные интегралы (aka фейнмановские интегралы по траекториям - ФИТ), чтобы проквантоваять эти системы;
- и будто этого мало, суперсимметрия, чтобы на равных рассматривать бозонные и фермионные степени свободы.

То есть, если ЛЛ-1 находится где-то в начале логической цепочки, то Прохоров-Шабанов - ближе к концу, на несколько этажей выше. До него ещё добраться надо (через теорию поля типа ЛЛ-2, через квантовую механику и квантовую теорию поля, через калибровочные поля, через квантование по Фейнману - как-то так).

[amon]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #930446 писал(а):

Архимед, например, интегрировать не умел (взял только несколько интегралов), а был самым великим среди своих современников, - его современный старшеклассник за пояс заткнёт.

Кто-то из великих математиков, может Клейн, точно не помню, но если интересно, могу уточнить, по поводу задачника Архимеда (а там все просто, задача - ответ, без решения) писал, что он может решить все задачи Архимеда, но для этого ему нужен весь аппарат, который он знает. Так что насчет старшеклассника сомневаюсь я.

[Munin]

(Оффтоп)

А я не говорил про все задачи задачника. Архимед был разносторонним учёным (и кстати, не только математиком), а я только конкретно про интегрирование.

[lek]

limarodessa в сообщении #930386 писал(а):

В калибровочной инвариантности ИМХО сложно понимание того что такое ковариантная производная. Возможно я что то путаю но там кажется необходимы познания из дифференциальной геометрии

Если ограничиться стандартной моделью и игнорировать квантование, то ничего сложного. Рекомендую посмотреть 8-ю главу книги Ченга-Ли "Калибровочные теории в физике элементарных частиц". В параграфе 8.1 рассматриваются абелева и неабелева калибровочные теории, а в параграфе 8.2 описывается их связь с римановой геометрией.

[limarodessa]

lek в сообщении #930535 писал(а):

Если ограничиться стандартной моделью

А можно уточнить - какой смысл Вы вкладываете в словосочетание "стандартная модель" ? Согласитесь - при обсуждении калибровочных теорий в физике элементарных частиц такое словосочетание является более чем значащим

P. S. Спасибо за рекоммендованную книгу

[lek]

Стандартная модель (СМ) - общепринятая модель локальной квантовой теории поля, описывающяя сильные и электрослабые взаимодействия.

[Munin]

Калибровочные поля:

1. Абелевы калибровочные поля. Тут всё (сравнительно) скучно. Пример - электродинамика, Максвелл.
2. Неабелевы калибровочные поля. Прототип - Янг-Миллс.

2.1. С ненарушенной симметрией. Это чистый Янг-Миллс. Пример - хромодинамика (кварки и глюоны).
2.2. С частично нарушенной симметрией. Это разные модели, смотря по механизму нарушения. Пример - электрослабое взаимодействие ($W^\pm$ и $Z^0$-бозоны).

Один из механизмов нарушения - спонтанно нарушенная симметрия по механизму Хиггса. Это стандартная электрослабая теория = модель ГВС. Она включает в себя бозон Хиггса.

Если собрать все эти три модели (КЭД = QED, КХД = QCD, ГВС = GWS) в один лагранжиан, то получится стандартная модель физики элементарных частиц (СМ = SM).

-- 14.11.2014 02:19:23 --

limarodessa в сообщении #930556 писал(а):

P. S. Спасибо за рекоммендованную книгу

Имхо, Ченг-Ли не лучше Рубакова. У меня полдесятка книг, излагающих всё это весьма схожим образом, я бы сразу названиями завалил, но решил предложить только одно, самое лучшее.