Показатель Гёлдеровости (Липшицевости) функции

[phoboslol]

Доброго времени суток, народ

В настоящий момент решаю некоторую задачу:

Показателем гладкости функции $f$ назовём величину $\sup \lbrace \alpha > 0 | \exists L > 0,\ \forall x,\ y \in [0,1],\ \ |f(x) - f(y)| \leq L|x-y|^{\alpha} \rbrace$, полагаем $\sup \emptyset = 0$ и $\sup (0, \infty) = \infty$.
Требуется исследовать показатель гладкости функции $f(x) = x \cdot \sin{\frac{1}{x}}$.
Была идея использовать то, что $f$ является функцией неограниченной (бесконечной) вариации, то есть мы пытались доказать неизвестную ранее теорему (нет, я не уверен на 100%, что она правдива, но похоже на то):
Теорема: пусть $f:[0,1] \rightarrow R$ - функция неограниченной вариации на $[0,1]$. Тогда показатель гладкости функции $f$ есть $0$.
Хотелось бы знать похоже ли это на правду, а то взгляда двух людей не достаточно.. Если это правда, то как это можно доказывать? Понятно, что от противного, но что дальше то?

[Vince Diesel]

Если функция имеет ограниченную вариацию на отрезке, то она дифференцируема п.в. на этом отрезке. Однако есть, например, функция Вейерштрасса, которая принадлежит пространству Гельдера и нигде не дифференцируема.

[grizzly]

phoboslol в сообщении #929627 писал(а):

полагаем $\sup \emptyset = 0$

Вряд ли стоит переопределять общепринятые понятия. Лучше для этого случая определить явно "показатель гладкости".

Ближе к теме: мои прикидки на коленке дали для данной функции "показатель гладкости" $1/2$. То, что не меньше, можно проверить в лоб, а что не больше -- становится "очевидным" в ходе этой проверки. "Очевидность", конечно, вредная штука, но спорить с ней мне сейчас лень :) Если продвинетесь дальше, отпишитесь, пжл (здесь или в ЛС).

[phoboslol]

Vince Diesel в сообщении #929663 писал(а):

Если функция имеет ограниченную вариацию

Мне хочется доказать про функцию бесконечной вариации, а не ограниченной.

grizzly в сообщении #929669 писал(а):

phoboslol в сообщении #929627 писал(а):

полагаем $\sup \emptyset = 0$

Вряд ли стоит переопределять общепринятые понятия.

Это я скопировал условие поставленной задачи:)

[Vince Diesel]

Из того, что написано, как раз следует, что функция Вейерштрасса имеет неограниченную вариацию.

[phoboslol]

Vince Diesel в сообщении #929690 писал(а):

Из того, что написано, как раз следует, что функция Вейерштрасса имеет неограниченную вариацию.

А, понял, нашел на вики, благодарю