Трансфинитный ряд подгрупп

[Felt]

Как понимать трансфинитую рекурсию в задании членов трансфинитной последовательности подгрупп, то есть что в ряде $0 \subset G_1 \subset G_2 \subset ... \subset G_\alpha \subset ... \subset G_\gamma = G$ группа $G_\alpha$ задается как $G_\alpha= \bigcup_{\beta \le \alpha} G_\beta$? Что имеется под этим в виду, если она всё равно подгруппа, являющаяся строго "надгруппой" тех, что меньше индексом, чем $\alpha$? И зачем объединять все группы, с меньшим индексом, если они вложены одна в другую?

[arseniiv]

Felt в сообщении #929437 писал(а):

группа $G_\alpha$ задается как $G_\alpha= \bigcup_{\beta \le \alpha} G_\beta$?

Наверно, всё же $<$ вместо $\le$, и $\alpha$ — предельный?

[Felt]

arseniiv в сообщении #929504 писал(а):

Felt в сообщении #929437 писал(а):

группа $G_\alpha$ задается как $G_\alpha= \bigcup_{\beta \le \alpha} G_\beta$?

Наверно, всё же $<$ вместо $\le$, и $\alpha$ — предельный?

Да, конечно же там строгое неравенство и $\alpha$ - предельный порядковый индекс.

[arseniiv]

Felt в сообщении #929437 писал(а):

И зачем объединять все группы, с меньшим индексом, если они вложены одна в другую?

А как иначе получить группу, содержащую элементы из каждой такой $G_\beta$? А то, что они пересекаются, для объединения не помеха.

[Felt]

arseniiv в сообщении #929523 писал(а):

Felt в сообщении #929437 писал(а):

И зачем объединять все группы, с меньшим индексом, если они вложены одна в другую?

А как иначе получить группу, содержащую элементы из каждой такой $G_\beta$? А то, что они пересекаются, для объединения не помеха.

Стоп, стоп, это же ряд подгрупп, $G_{n-1} \subset G_{n}$, объединение всех групп с индексом меньшим или равным $n-1$ мы получим группу $G_{n-1}$, потому что $G_{i} \subset G_{n-1}$ для всех $i \le n$. При чем тут пересечение?

[arseniiv]

Felt в сообщении #929535 писал(а):

При чем тут пересечение?

Носитель подгруппы — подмножество носителя группы (с операцией так же), так что пересекаются — подумал, вас именно это беспокоило, что объединяем пересекающиеся множества.

Felt в сообщении #929535 писал(а):

Стоп, стоп, это же ряд подгрупп, $G_{n-1} \leq G_{n}$, объединение всех групп с индексом меньшим или равным $n-1$ мы получим группу $G_{n-1}$, потому что $G_{i} \leq G_{n-1}$ для всех $i \le n$.

Но конца-то оридиналам, меньшим данного предельного, нет. Какой-то из хвостов последовательности придётся объединять в любом случае. Вот и берут все меньшие ординалы, чтобы не думать о том, с какого места начинать — а пускай с нуля!