Разложить в ряд Тейлора x^(-1/4)

[endemic]

Задача: Разложить в ряд Тейлора $ x^{-1/4} $ по степеням $x-4$ и найти область сходимости полученного ряда.

Не могу уловить закономерность, когда вычисляю производную. wolramalpha говорит что там должен быть биномиальный коэффициент http://www.wolframalpha.com/input/?i=series+x%5E%28-1%2F4%29+x%3D4, но я не могу понять как это обосновать для преподавателя и как потом определить область сходимости. Если попробовать проверить по признаку д'Аламбера, то получим примерно следующее:

$$\lim_{x\to \infty} \frac{2^{-2n-2-1/2}(x-4)^{n+1}\binom{-1/4}{n+1}}{2^{-2n-1/2}(x-4)^{n}\binom{-1/4}{n}}$$

Как работать с дробным биномиальным коэффициентом я не представляю, у нас его не преподавали.

Подскажите, что можно сделать с этой задачей? Может есть другой (не в лоб) способ решения?

[Otta]

endemic
Сделайте замену $t=x-4$, чтобы переместить точку в ноль и раскладывайте по степеням $t$, пользуясь стандартными разложениями.

[ИСН]

Но дробный биномиальный коэффициент там останется. Любой другой ответ будет либо такой же, либо неправильный. Вы какие предпочитаете?

[ewert]

endemic в сообщении #928757 писал(а):

Как работать с дробным биномиальным коэффициентом я не представляю,

Можете работать как обычно: $C_{\alpha}^n=\frac{\alpha!}{n!(\alpha-n)!}$. То, что $\alpha$ дробная, признаку Даламбера ничуть не помеха. Если же Вас всё-таки интересует, что в точности под этим понимается -- выпишите сомножители, которые остаются при формальном сокращении дроби $\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}$; это ровно оно и выйдет.

[provincialka]

Собственно, разложение для $(1+x)^{m}$ есть во всех учебниках/задачниках по матану. В чем проблема?
Тут, скорее, надо как-то от $-4$ освободиться.

[Otta]

ИСН

(Оффтоп)

Это конечно, но в большинстве учебников для первого курса обходятся без введения этого обозначения. ) Только и всего.

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #928841 писал(а):

Тут, скорее, надо как-то от $-4$ освободиться.

От неё избавляться нечего; надо от плюс четвёрки.

provincialka в сообщении #928841 писал(а):

разложение для $(1+x)^{m}$ есть во всех учебниках/задачниках по матану

Не думаю; в большинстве всё-таки для $(1+x)^{\alpha}$.

[endemic]

Попробовал сделать замену $x-4=4t$ отсюда получил $x=4t+4 & t=\frac{x-4}{4}$. Отсюда

$$x^{-1/4}=(4t+4)^{-1/4}=4^{-1/4}(t+1)^{-1/4}$$

Получили типичное биномиальное разложение:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(t+1)^{-1/4}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sum^{\infty}_{n=1}\binom{-1/4}{n}t^n=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sum^{\infty}_{n=1}\binom{-1/4}{n}2^{-2n}(x-4)^n$$

Дальше можно взять область сходимости из определения биномиального разложения с учетом преобразований к $t$ или применить следующую магию:

$$ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \Rightarrow \frac{\binom{a}{n+1}}{\binom{a}{n}}=\frac{\frac{a!}{(n+1)!(n-a-1)!}}{\frac{a!}{n!(a-n)!}}=\frac{n!(a-n-1)!(a-n)}{n!(n+1)(a-n-1)!}=\frac{a-n}{n+1} $$

Полученные ряд область сходимости аналогичны найденным вольфрамальфа.

Всем спасибо за помощь

[ewert]

endemic в сообщении #928907 писал(а):

$x-4=4t$ отсюда получил $x=4t+4 & t=\frac{x-4}{4}$

Я бы сказал, что это оригинально.

[provincialka]

Надеюсь, это просто опечатка, $, t $ перед последним равенством пропало. Меня больше смутило, как это в факториалах все так
сильно сократилось...

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #929044 писал(а):

Надеюсь, это просто опечатка,

естественно, опечатка, но какая классная! (учитывая, что кратная)

[Lia]

(Оффтоп)

Там просто пробел по замыслу полагался между двумя равенствами )