Что такое "поток алгебр"?

[Rasool]

В книге "Ширяев А.Н. основы стохастической финансовой математики" (можно скачать здесь: http://institutiones.com/general/1274-osnovy-stoxasticheskoj-finansovoj-matematiki.html или здесь: http://rutracker.org/forum/viewtopic.php?t=1173923) Том 1, глава 1, параграф 2а, п.5 (на странице 49) написано:

Цитата:

Пространства $(\Omega, \digamma, F = (\digamma_n), P$) с выделенными потоками $\sigma$-алгебр $F = (\digamma_n)$ в стохастическом исчислении принято называть фильтрованными вероятностными пространствами. В контексте финансовой математики мы будем называть $F = (\digamma_n)$ также потоком информации. С помощью этого понятия разные формы эффективности рынков можно определить так.
Пусть на $(\Omega, \digamma, P$) выделены три потока $\sigma$-алгебр

$$F^1 = (\digamma^1_n), F^2 = (\digamma^2_n), F^3 = (\digamma^3_n)$$

, где $\digamma^1_n \subseteq \digamma^2_n \subseteq \digamma^3_n$ и каждая из $\sigma$-алгебр $\digamma^i_n$ интерпретируется как информация вида (i) в момент времени n.

У меня вопрос: что такое "поток алгебр" и где можно об этом почитать (т.е. есть ли учебник, где дается определение этого понятия)? Определение понятия "алгебра" я нашел в учебнике Кузнецова "Дискретная математика для инженеров": алгебра - это множество (называемое несущим) и совокупность заданных на нем операций (называемых сигнатурой).

[--mS--]

Возьмите учебник по теории вероятностей - например, Ширяева "Вероятность", гл.II, параграф 1 и найдите там определение алгебры и $\sigma$-алгебры. Или наберите "сигма-алгебра" в гугле и пройдите по первой же ссылке. Набор сигма-алгебр $\mathcal F_t\subseteq \mathcal F$ называется потоком (фильтрацией), если $\mathcal F_s\subseteq \mathcal F_t$ при $s\leqslant t$. См. Булинский, Ширяев "Теория случайных процессов", гл. III, параграф 1.

Алгебра из учебника дискретной математики для инженеров - это совсем не та алгебра. Или не совсем та алгебра

[Rasool]

Спасибо.

[R_e_n]

--mS-- в сообщении #674973 писал(а):

Возьмите учебник по теории вероятностей - например, Ширяева "Вероятность", гл.II, параграф 1 и найдите там определение алгебры и $\sigma$-алгебры. Или наберите "сигма-алгебра" в гугле и пройдите по первой же ссылке. Набор сигма-алгебр $\mathcal F_t\subseteq \mathcal F$ называется потоком (фильтрацией), если $\mathcal F_s\subseteq \mathcal F_t$ при $s\leqslant t$. См. Булинский, Ширяев "Теория случайных процессов", гл. III, параграф 1.

Алгебра из учебника дискретной математики для инженеров - это совсем не та алгебра. Или не совсем та алгебра

А не могли бы вы для совсем чайников рассказать, что это такое? Я в нескольких книгах видел это определение, но что это такое и зачем она нужна я не понял. Спрашивал и одногруппников никто толком понять / объяснить не может.

[--mS--]

Совсем для чайников - вот тут.

[R_e_n]

--mS-- в сообщении #743685 писал(а):

Совсем для чайников - вот тут.

Спасибо, но там нет ничего по потоку сигма-алгебр

[--mS--]

Если понимаете, что такое сигма-алгебра, что может быть непонятного во вложении одной сигма-алгебры в другую? Что такое вложение двух множеств, знаете?

[R_e_n]

--mS-- в сообщении #744194 писал(а):

Если понимаете, что такое сигма-алгебра, что может быть непонятного во вложении одной сигма-алгебры в другую? Что такое вложение двух множеств, знаете?

А зачем это делать? Т.е. предполагается, что со временем сигма-алгебра событий меняется? Как то это тяжело понять

-- 07.07.2013, 22:17 --

Пусть есть однородный Пуассоновский процесс $X_t$. Что означает, запись $ (X_t|\digamma_t)$? Она как то отличается от $ (X_t|\digamma_{t-})$ или от $ X_t$? Т е что составляет сигма-алгебру для пуассоновского процесса в момент времени t?

[--mS--]

Когда у нас есть одна случайная величина, особый интерес представляет порождённая ей сигма-алгебра $\sigma(\xi)=\sigma\{\xi^{-1}(B), B\in \mathfrak B(\mathbb R)\}$ - минимальная сигма-алгебра подмножеств пространства элементарных исходов, относительно которой измерима эта случайная величина. В терминах порождённых сигма-алгебр описывается, например, зависимость и независимость случайных величин.
Для случайного процесса как (огрубляю) "совокупности случайных величин" точно так же полезно в любой момент времени интересоваться, например, сигма-алгеброй, порождённой процессом к этому моменту времени. Скажем, есть у нас процесс суммирования независимых случайных величин $S_n=\xi_1+\ldots+\xi_n$. Пусть сигма-алгебра $\mathcal F_m$ порождена $\{S_k,\, k\leqslant m\}$. Это будет сигма-алгебра, порождённая величинами $\xi_1,\ldots,\xi_m$, т.е. минимальная сигма-алгебра, содержащая все прообразы всех борелевских множеств $\xi_i^{-1}(B)$, $i=1,\ldots,m$.
Величина $S_{m+1}=S_m+\xi_{m+1}$ уже не будет измерима относительно этой сигма-алгебры. Однако будет измерима относительно $\mathcal F_{m+1}$, которая шире, чем $\mathcal F_m$. Вот и получился поток сигма-алгебр, изначально построенный по некоторому процессу. Каждая сигма-алгебра в потоке содержит некую информацию о своём куске процесса.

-- Пн июл 08, 2013 02:31:44 --

R_e_n в сообщении #744209 писал(а):

Пусть есть однородный Пуассоновский процесс $X_t$. Что означает, запись $ (X_t|\digamma_t)$? Она как то отличается от $ (X_t|\digamma_{t-})$ или от $ X_t$? Т е что составляет сигма-алгебру для пуассоновского процесса в момент времени t?

Не знаю, что означает эта запись. Скорее всего, ничего. Там перед скобками никаких букв типа $\mathsf E$ не потерялось?

В любом случае, для непрерывного времени поток сигма-алгебр часто полагают непрерывным справа. Т.е. $\mathcal F_{t+0}=\mathcal F_t\neq \mathcal F_{t-0}$.

Чтобы говорить о конкретном наполнении сигма-алгебры, нужно знать вероятностное пространство и сам процесс. Поэтому последний вопрос, на мой взгляд, смысла не имеет.

[R_e_n]

--mS-- в сообщении #744237 писал(а):

Там перед скобками никаких букв типа $\mathsf E$ не потерялось?

Нет, не потерялось (из книги Липцера, Ширяева "Статистика случайных процессов")



Спасибо, большое за ответ. Мне нужно время для осмысления того, что вы написали.

[--mS--]

Нигде не вижу $(X_t | \mathcal F_t)$. Вижу только внизу, но там стоит именно математическое ожидание. А подчёркнуто вообще не это.

[alexpomorin]

(Оффтоп)

Ну что ж. Мое сообщение предыдущее стерли.

Придется кратко повторить.

Математики для дилетантов не существует.

Отвечать на вопросы необразованных людей - помочь им этим невозможно.

Когда человек спрашивает примитивное определение и свойства сигма алгебр то он не имеет образования. Решайте сами - имеет ваша жизнь смысл - потраченная на объяснения человеку без двух первых курсов по математическому анализу . Высшей алгебре. Дифференциальной геометрии. Топологии. Функциональному анализу.

Решайте сами.- имеют ваши ответы таким людям про сигма алгебру. Смысл.

Возможно хоть какие-то остались образованные математики в России.
Мой призыв к вам. Время вашей жизни - все что у вас есть.

И оно дороже времени тех кто работая бухгалтером в финансовой компании прочитал в руководстве трейдера слово мартингал.
Или открыл книжку Ширяева по применению случайных процессов в финансах - но не потратил время на основной курс случайных процессов.

[Toucan]

alexpomorin, замечание за оффтопик. Убрал в тег [оff]

[--mS--]

(Оффтоп)

Сколько снобизма, боже мой. Вас не возмущало, когда Ваши преподаватели тратили своё время на объяснение Вам того, что такое мартингал? Или после двух первых курсов Вы уже перешли на обучение исключительно по книгам? Или Вам - можно, остальным нельзя? Так и читается во всём этом возмущённом сообщении представление о математике как о священной корове, даже дотрагиваться до которой можно позволить только избранным. Так и
давайте вовсе запретим всем, кто не имеет в анамнезе двух первых курсов по матанализу, высшей алгебре, дифференциальной геометрии, топологии и функциональному анализу, а заодно и русского языка в объёме школьной программы, открывать математические книги и статьи? Пусть все эти трейдеры свою математику изобретут и ей пользуются, а эту - не замать! Экономистам сигма-алгебр и мартингалов тоже не рассказывать за отсутствием у них представлений о дифференциальной геометрии, топологии и ФА, пусть там себе в рамках таблицы умножения ковыряются.

Впрочем, меня вполне устроит, если автор будет считать, что "хоть каких-то образованных математиков в России" не осталось, и обойдётся без дальнейших призывов. Смешно непонятно от кого, да ещё и с такой дикой пунктуацией, читать такие "призывы".

[alexpomorin]

Смотрите личное сообщение. Модератор. Может вам поможет