У ЛЛ2 параграф 8 есть доказательство, что 4 - токи

образует четырех вектор, но не определен его модуль. Т.е. везде надо догадываться и додумывать.
Ну про модуль 4-вектора написано было гораздо раньше, в § 6. А дальше это работает для любых 4-векторов. Ну и зачем это повторять каждый раз про каждый новый 4-вектор? Только зря бумагу тратить? Что, надо рассчитывать на читателя, который уже не помнит, что раньше было? Да, можете считать, что "надо додумывать". А вообще-то это норма.
Но у меня возникло новое недоразумение, которое я не знаю как разрешить. Оно касается инвариантов электромагнитного поля

.
Слово "инвариант" здесь означает: в заданной точке пространства-времени это число будет всегда одно и то же, в какой системе отсчёта его ни рассматривай (сами величины

будут меняться). То есть, это константа по системам отсчёта. Но это не константа по разным точкам пространства-времени! И в разных точках пространства, и в разные моменты времени, эти величины будут разные.
Тогда нельзя говорить, что напряженность в одной системе координат можно сделать нулевой, можно сделать нулевой в одной точке.
Можно сделать в одной
заданной точке,
подбирая систему отсчёта.
Поясните, почему такая система отсчета может не существовать, и каким образом стать пространственноподобной, ведь скорость частицы меньше скорости света.
А всё дело в том, что ток, который мы изображаем

он только с микроскопической точки зрения определён как заряд частицы на её скорость. С макроскопической точки зрения, мы берём плотности зарядов и токов в пространстве, то есть

и

как мы бы их взяли в обычной макроскопической нерелятивистской физике. Скажем, в однородном заряженном шаре

в проводе с однородным распределением тока

И вот тут возникает такая ситуация с обычным проводом: он состоит из двух зарядов разных типов, из неподвижных положительных ионов (кристаллическая решётка металла), и из отрицательных движущихся электронов. Они оба дают вклад и в макроскопические

и в

Какой? Давайте посмотрим:


То есть, суммарная плотность зарядов нуль, а суммарная плотность тока - не нуль. Это означает, что 4-вектор тока пространственноподобен - он лежит в пространственной плоскости. В другой системе отсчёта он не будет лежать в чисто пространственной плоскости, но останется пространственноподобным. Это значит, что в дополнение к току, появится ещё и какая-то плотность зарядов - это хорошо объяснено в Парселле.
На микроуровне, как это возникает? У каждого микроскопического 4-тока отдельной заряженной частицы, конечно же, времениподобный тип 4-вектора. Такие токи "торчат вверх" для положительных частиц, и "торчат вниз" для отрицательных частиц. Но они не совсем противоположны по направлению, а чуть-чуть наклонены друг к другу. И когда мы складываем эти микроскопические 4-токи, чтобы найти усреднённый макроскопический 4-ток в веществе, то мы складываем такие два вектора, которые почти противоположны, но чуточку наклонены. И в сумме они дают другой вектор, сравнительно маленький, но "торчащий вбок". Это и будет пространственноподобный вектор тока. В обычных задачах на цепи постоянного тока - 4-вектор тока именно такой. Хотите разобраться с 4-мерными явлениями для таких цепей - представляйте себе такой ток. Благодаря такому току, магнитное поле будет сильнее электрического,

ну и так далее.