Поверхностный интеграл

[Limit79]

Здравствуйте!

В ходе вычисления поверхностного интеграла пришел к интегралу

$$ |a| \cdot \iint\limits_{D} \left ( \frac{x+y}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}} + 1 \right ) dxdy$$

где $D$ - круг $x^2+y^2 \leqslant a^2$.

Я заметил, что интеграл от первого слагаемого равен нулю, но забыл формулировку свойства, по которому можно сразу сказать, что он равен нулю, подскажите, пожалуйста.

[provincialka]

Их там два: с иксом и с игреком. Про нечетность вспомните.

[Limit79]

provincialka

Функция

$$f(x,y) = \frac{x+y}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}} $$

нечетна по обеим переменным, а область $D$ симметрична относительно обеих координатных осей, следовательно,

$$ \iint\limits_{D} \frac{x+y}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}dxdy = 0$$

Как-то так?

-- 05.11.2014, 02:05 --

Это по аналогии с тем, что интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю.

[ИСН]

Допустим, я знаю, что такое "функция просто нечётна": это когда $f(-x)=-f(x)$. Но что такое "нечетна по обеим переменным"?

[provincialka]

Limit79 Ну, почти. Что значит "нечетна по обеим переменным". Лучше все-таки рассмотреть отдельно слагаемое с $x$, отдельно с $y$.

[Shtorm]

С разрешения автора темы, я задам вопрос для самообразования: а есть понятие чётности и нечётности для функции двух переменных / нескольких переменных?

[provincialka]

Есть, например, "четность по совокупности": $f(-x,-y)=f(x,y)$. Такое упоминается, скажем, при подборе замены в интеграле от тригонометрической функции.

[Limit79]

ИСН
Это когда $f(-x,-y) = - f(x,y)$.

provincialka

$$ \iint\limits_{D} \frac{x+y}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}dxdy = \iint\limits_{D} \frac{x}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}dxdy + \iint\limits_{D} \frac{y}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}dxdy$$

Функции $f(x,y) = \frac{x}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}$ и $g(x,y) = \frac{y}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}$ нечетны по переменным $x$ и $y$ соответственно.

Область $D$ симметрична относительно обеих координатных осей, соответственно

$$\iint\limits_{D} \frac{x}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}dxdy = 0 $$

и

$$\iint\limits_{D} \frac{y}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}dxdy = 0 $$

Так?

[provincialka]

Limit79, так.

[Limit79]

provincialka
Спасибо.

«в силу четности функции по обеим переменным» в интернете видел, например, здесь.

[ИСН]

Limit79 в сообщении #926870 писал(а):

«в силу четности функции по обеим переменным» в интернете видел, например, здесь.

Там (и вообще везде) оно имеет другой смысл: чётность по каждой из переменных отдельно, а не в совокупности.

[Shtorm]

ИСН, то есть по сути, речь идёт о чётности и нечётности функции одной переменной, которая образуется в сечении графика функции двух переменных?

[provincialka]

Shtorm, можно определить разные варианты, только им не дают названий. Нет необходимости.

[ИСН]

Shtorm, по сути да.

[Shtorm]

provincialka, ИСН, спасибо!