Замена переменных в двойном интеграле

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка:

Ввести новые переменные $u$ и $v$ и вычислить интеграл

$$\iint\limits_{D} xy (x+y) dx dy$$

если область $D$ ограничена линиями $y=\frac{1}{x}$, $y=\frac{2}{x}$, $x-y=-1$, $x-y=1$.

Мои мысли:

Данные линии ограничивают две симметричные области, пусть $D$ -- та область, которая находится в первой координатной четверти.

Новые координаты

$$u=xy \quad v =x-y$$

Тогда

$$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} = \begin{vmatrix} y & x \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -y-x$$

$$ \left | \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right | = \left | \left ( \frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} \right ) ^{-1} \right | = \left | -\frac{1}{x+y} \right |$$

Так как для области $D$: $x>0$ и $y>0$, то

$$ \left | \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right |= \frac{1}{x+y}$$

Решая систему

$$u=xy \quad v =x-y$$

нахожу

$$x=\frac{2u}{\sqrt{v^2+4u}-v} \quad y=\frac{\sqrt{v^2+4u}-v}{2}$$

Тогда

$$dxdy = \left | \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right | dudv = \frac{dudv}{\frac{2u}{\sqrt{v^2+4u}-v}+\frac{\sqrt{v^2+4u}-v}{2}} = \frac{dudv}{\sqrt{v^2+4u}}$$

$$y=\frac{1}{x} \Rightarrow u = 1$$

$$y=\frac{2}{x} \Rightarrow u = 2$$

$$x-y=-1 \Rightarrow v = -1$$

$$x-y=1 \Rightarrow v = 1$$

И интеграл

$$\iint\limits_{D} xy (x+y) dx dy = \int\limits_{1}^{2} u du \int\limits_{-1}^{1} \frac{vdv}{\sqrt{v^2+4u}} = ... =0$$

Подскажите, пожалуйста, что не верно

-- 05.11.2014, 00:15 --

PS. Если считать площадь области, то интегралы совпадают, если $f(x,y) = xy$, то тоже интегралы совпадают, но если $f(x,y)=xy (x+y)$, то результаты не совпадают.

[ex-math]

Может, дело в том, что $x+y\neq v$?

[Limit79]

ex-math
Ваша правда

То есть в интеграл вместо $xy$ можно подставить просто $u$, а вместо $x+y$ уже

$$\frac{2u}{\sqrt{v^2+4u}-v} +\frac{\sqrt{v^2+4u}-v}{2}$$

?

[Otta]

Я ничё не вижу, я только вижу, что скобочка $(x+y)$ должна была уйти, а остальное все просто. Корни на меня навевают ужас и тоску, боюсь смотреть.

[Limit79]

Otta

$$xy(x+y)dxdy =u \cdot \left ( \frac{2u}{\sqrt{v^2+4u}-v} +\frac{\sqrt{v^2+4u}-v}{2} \right ) \cdot \frac{dudv}{\sqrt{v^2+4u}} = ... = ududv$$

[Otta]

Вот это совершенно неважно, что Вы там подставили на место $x+y$ в числителе. Важно, что в знаменателе Вы занимались тем же и туда же. Что там было-то, в знаменателе? под дифференциалом?

Но да, так и получится.
Просто много лишних действий.

[Limit79]

Otta
$x+y$

-- 05.11.2014, 00:43 --

Otta
Но я же не могу написать, что

$$dxdy = \frac{dudv}{x+y}$$

? Или могу?

[Otta]

Не можете, ругать будут. Но Вы можете написать $(x(u,v)+y(u,v))$.

А можете написать, что $(x+y)dxdy = dudv$.

[Limit79]

Otta
Понял, спасибо!