Вычислить предел

[Ёж]

Вычислить предел
$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left( \frac{n+3}{n-2}\right)^{n+1}= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left( \frac{n-2+5}{n-2}\right)^{n+1}= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left( 1+\frac{5}{n-2}\right)^{n+1}= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left( 1+\frac{1}{\frac{n-2}{5}}\right)^{n+1}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left( 1+\frac{1}{\frac{n-2}{5}}\right)^{\frac{n-2}{5}\cdot\frac{5}{n-2}\cdot(n+1)}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}e^{\frac{5n+5}{n-2}}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} e^{ \frac{n\left(5+\frac{5}{n}\right) }{n\left( 1-\frac{2}{n} \right)} }= e^5$

Имеются ли ошибки в вычислениях?

[BAHOO]

Всё верно

[Ёж]

BAHOO в сообщении #924830 писал(а):

Всё верно

но у меня вопрос: сходится ли последовательность $\left(\left( \frac{n+3}{n-2}\right)^{n+1}\right)$ ?

[ИСН]

Чем эта последовательность отличается от той, предел которой Вы только что нашли?

[Shtorm]

Ёж, конечно сходится. Посмотрите параграф в Пискунове по 2-му замечательному пределу.

[Ёж]

А как быть членом $a_2$ данной последовательности?

[bot]

Если Вы говорите, что это последовательность, то мы Вам верим, так как думаем, что Вы думаете, что $n>2$.

[Ёж]

bot в сообщении #924845 писал(а):

Если Вы говорите, что это последовательность, то мы Вам верим, так как думаем, что Вы думаете, что $n>2$.

Спасибо!
А если вычисляем предел функции $\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left( \frac{x+3}{x-2}\right)^{x+1},$ то полагаем, что $x\ne2$?

[provincialka]

При вычислении предела, собственно, нам важно поведение последовательности/функции в окрестности предельной точки. Для $x\to +\infty$ учитываются достаточно большие $x$.

[Ёж]

Правильно ли:
1. $\lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)=A \Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow a}f(n)=A, $
2. $\lim\limits_{n \rightarrow a}f(n)=A \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)=A. $
где $f(x)$ - функция, а $(f(n))$ - последовательность, $a, A$ - число или бесконечность.

[provincialka]

Не очень понятен вопрос. Вы имеет в виду, что $n$ - натуральное, а $x$ - вещественное? Тогда второе высказывание неверно. Впрочем, и первое не очень понятное. Что значит $n\to a$, если $a$ - конечное число?

[Lia]

Ёж
А Вы как думаете?
И м.б. $n\to\infty$, раз уж последовательность.

Просьба под новые задачи создавать новые темы.

[Ёж]

1. $\lim\limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=A \Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty}f(n)=A, $
2. $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}f(n)=A \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=A. $
где $f(x)$ - функция, а $(f(n))$ - последовательность, $ A$ - число или бесконечность.[/quote]

-- Вт ноя 04, 2014 22:24:07 --

Lia в сообщении #926657 писал(а):

Ёж
А Вы как думаете?
И м.б. $n\to\infty$, раз уж последовательность.

Думаю, что и первое и второе правильно. Но есть сомнения...

[ИСН]

$\sin\pi x$

[provincialka]

Первое правильно, если считать, что функция $f$ в обоих случаях одна и та же и, следовательно, задана на (достаточно больших) натуральных числах. А вот второе - неверно.