равномерная непрерывность

[Otta]

Верно. Функция с ограниченной на множестве производной, равномерно непрерывна на нем.

[bot]

Верно то оно верно, но

Otta в сообщении #926130 писал(а):

Теорема Лагранжа - это мощно, но обычно при изучении равномерной непрерывности не дозволяется пользоваться результатами дифференциального исчисления.

А бросать почти законченное не жаль?

_genius_ в сообщении #926069 писал(а):

$|x''-x'|<\delta$
$|e^{x''} - e^{x'}|=|e^{x'}|\cdot|e^{(x''-x')} - 1|<e\cdot|e^{(x''-x')} - 1|<e^{\delta+1}$

Тут всего лишь надо подправить последнее слишком грубое неравенство, на что уже намекали.

[ewert]

Otta в сообщении #926157 писал(а):

Стройте график $y=e^x-1$, смотрите на него... лучше всего линейные оценки. $y=kx$.

Если дозволено пользоваться только элементарными свойствами (а даже выпуклость экспоненты не вполне элементарна), то никаких линейных оценок нет. Всё, что есть -- это непрерывность экспоненты как минимум в нуле. Это самое простое из её свойств, которые можно привлечь, и без этого уж точно никак, и этого вполне достаточно.

[Otta]

ewert

(Оффтоп)

ТС хотелось иметь дельта в явном виде, и я его понимаю. Разумеется, непрерывности в нуле достаточно, если ограничиваться только выводом, что такое дельта существует. Но это мало кого удовлетворяет из начинающих, тем более нематематиков. А как эту непрерывность доказывать (в нуле) без привлечения сторонних свойств по определению, я и сама не знаю.

-- 05.11.2014, 14:11 --

bot в сообщении #926946 писал(а):

А бросать почти законченное не жаль?

bot, но он решил. post926180.html#p926180

[bot]

Там неравенство с шестёркой - верное лишь для достаточно малых дельт. С тем же успехом годится любое число, большее $e$. Откуда взялась шестёрка - загадка.

-- Ср ноя 05, 2014 18:34:56 --

Почитал далее - увидел неравенство $|e^\delta - 1|<(e-1)\delta$ и происхождение шестёрки стало понятно. Однако и это неравенство справедливо только для достаточно малых дельт. Этого, конечно, достаточно, но на месте препода без вопроса я бы сей момент не оставил.

[upgrade]

_genius_ в сообщении #926069 писал(а):

если $\forall\varepsilon>0 \exists\delta>0$, такое что $\forall x'',x'\in X$, удовлетворяющих условию $|x''-x'|<\delta$, выполняется неравенство $|f(x'')-f(x')|<\varepsilon$.

Как в данном случае вывести $\delta(\varepsilon)$? Все перепробовал уже. Обычно как-то интуитивно проводится цепочка неравенств и все само собой получается, но не в этот раз.

Попытка решения:
$|x''-x'|<\delta$
$|e^{x''}- e^{x'}|=|e^{x'}|\cdot|e^{(x''-x')} - 1|<e\cdot|e^{(x''-x')} - 1|<e^{\delta+1}$

может как-то так?:
если $\forall\varepsilon'>1 \exists\delta'>1$, такое что $\forall x'',x'\in X$, удовлетворяющих условию $\left(\frac{x''}{x'}\right)^{sgn(x''-x')}<\delta'$, выполняется неравенство $\left(\frac{f(x'')}{f(x')}\right)^{sgn(f(x'')-f(x'))}<\varepsilon'$.

$1<\left(\frac{x''}{x'}\right)^{sgn(x''-x')}<\delta'$
$\left(\frac{e^{x''}}{e^{x'}}\right)^{sgn(e^{x''}-e^{x'})}=\left(e^{x''-x'}\right)^{sgn(e^{x''}-e^{x'})}>1$

[bot]

upgrade в сообщении #927049 писал(а):

может как-то так?:

Ни в коем случае, всё совсем наоборот. Если уж ограничивать эпсилон, то можно брать не всякое, а достаточно малые (например меньшие 1) - ведь та дельта, что сгодилась для какой-то эпсилон, автоматически годится и для всех бо́льших.
Вот возьмём функцию Дирихле ...
Ой, а что там дальше у Вас ... отношения вместо разностей? А они то тут каким боком?

[Otta]

bot

bot в сообщении #927037 писал(а):

Там неравенство с шестёркой - верное лишь для достаточно малых дельт.

Почему. Оно верно для всех $\delta\in [0,1]$. А больше и не надо, это и так перебор. Перестраховка, чтоб уж на всей области.

[upgrade]

bot в сообщении #927077 писал(а):

то можно брать не всякое, а достаточно малые

так для отношения малыми будут значения близкие к единице
$x_1-x_0=0$ если $x_1=x_0$
$\frac{x_1}{x_0}=1$ если $x_1=x_0$
если $x_1>x_0$ то их разница больше 0, а отношение больше единицы
если $x_1>$ или$<x_0$ на очень небольшую величину, то значение разницы будет недалеко от нуля, а отношения недалеко от единицы.

[bot]

Уточнять, какие дельты здесь будут достаточны, излишне. А вот у ТС таких слов не было и я не уверен, что у него такое понимание есть, особенно из-за кульбита с шестёркой.

-- Ср ноя 05, 2014 22:54:53 --

upgrade в сообщении #927104 писал(а):

$\frac{x_1}{x_0}=1$ если $x_1=x_0$

Например, если $x_1=x_0=0$

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #927005 писал(а):

Но это мало кого удовлетворяет из начинающих,

Ну пусть удовлетворения ради напишет логарифм, если уж хочется явности. Конечно, вопроса это не снимает, просто переносит его на непрерывность логарифма. Но хотя бы создаёт иллюзию явности. А это именно иллюзия: непрерывность элементарных функций -- вещь существенно более простая и "более раньшая", чем всевозможные линейные оценки.

[upgrade]

bot в сообщении #927108 писал(а):

upgrade в сообщении #927104 писал(а):

$\frac{x_1}{x_0}=1$ если $x_1=x_0$

Например, если $x_1=x_0=0$

тогда модуль их разницы точно меньше $\delta$

[bot]

А их отношение какое? И вообще, заменяя разницу на отношение, Вы о чём? Определение предела в терминах отношений пытаетесь записать?

[upgrade]

bot в сообщении #927285 писал(а):

А их отношение какое?

деление на ноль не определено, значит отношение нельзя применять к случаю, когда знаменатель равен нулю.

bot в сообщении #927285 писал(а):

Вы о чём? Определение предела в терминах отношений пытаетесь записать?

предел отношений же есть.
$\lim\limits_{x_1\rightarrow x_0}(x_1-x_0)=0$
$\lim\limits_{x_1\rightarrow x_0}\frac{x_1}{x_0}=1$ кроме нулевых значений.

[bot]

Повторяю - о чём Вы?