Найти канонический вид и определить тип кривой

[SlayZar]

Требуется найти канонический вид и определить тип кривой второго порядка, а также найти координаты фокусов, эксцентриситет и уравнения директрис.
$29x^2-24xy+36y^2-54x+72y-135=0$

Составил матрицу

$$A =\begin{pmatrix} 29 & -12 \\ -12 & 36\\ \end{pmatrix}$$

Собственные числа будут $\lambda_1=45, \lambda_2=20$
Нашел для них собственные векторы и составил матрицу из нормированных собственных векторов

$$Q =\begin{pmatrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5}\\ \end{pmatrix}$$

Умножил $Q^T$ на матрицу из коэффициентов при $x, y$
$\begin{pmatrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5}\\ \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} -54 \\ 72\\ \end{pmatrix} = $ \begin{pmatrix} 90 \\ 0 \\ \end{pmatrix}

Тогда получаем уравнение $45x^\('2\)+20y^\('2\)+90x'+0y'-135=0$
где $x=-\frac{3}{5}x^\('\)+$$\frac{4}{5}y^\('\)$ и $y=\frac{4}{5}x^\('\)+$$\frac{3}{5}y^\('\)$

Привел к каноническому виду по Лагранжу и получил $\sqrt{45}x^\(''2\)+20y^\(''2\)=180$
$\frac{\sqrt{45}}{180}x^\(''2\)+$$\frac{1}{9}y^\(''2\)=1$

Можем ли мы теперь сказать, что коэффициенты при $x^\(''2\)$ и $y^\(''2\)$ будут $a$ и $b$ из канонического уравнения эллипса и отсюда уже находить фокусы и эксцентриситет? То есть $a^2=4\sqrt{45}$, $b^2=9$
Просто, если делать так, то получаются некрасивые ответы? Подскажите, пожалуйста, правильно ли это, или нам надо выражать $x$ через $x^\(''\)$ и $y$ через $y^\(''\)$ и находить $a$ и $b$ оттуда? но так все равно не получается...

[Shtorm]

SlayZar,

SlayZar в сообщении #924884 писал(а):

Тогда получаем уравнение $45x^\('2\)+20y^\('2\)+90x'+0y'-135=0$

SlayZar в сообщении #924884 писал(а):

Привел к каноническому виду по Лагранжу и получил $\sqrt{45}x^\(''2\)+20y^\(''2\)=180$

Не $\sqrt{45}$, а $45$ должно быть.
Когда Вы получили каноническое уравнение эллипса в новой системе координат, то в новой системе геометрические размеры эллипса такие же, как и были в старой системе координат. Поэтому смело находим полуоси и эксцентриситет исходя из канонического уравнения эллипса в новой системе координат.

[SlayZar]

Shtorm
М-да, точно. Столько времени потерял из-за такой тупой ошибки. Так как раз нормальные числа получаются. Спасибо.

[SlayZar]

Так, все таки что-то не то по-моему.
Каноническое уравнение получается $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$
Тогда фокусы имеют координаты $F_1=(-c;0)$ $F_2=(c;0)$ где $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4-9}$
Получаем корень из отрицательного...

или же мы можем записать как $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$
и тогда координаты фокусов $F_1=(-\sqrt{65};0)$ $F_2=(\sqrt{65};0)$?

[ИСН]

Корень из отрицательного числа - это точно лишнее.
Произвольно менять местами фрагменты формулы - можно, конечно, только получится другая формула, не имеющая отношения к первой. ("Цвет глаз: нет. Особые приметы: голубой.") До этого Вы переставляли фрагменты по определённым правилам. Выполняли замены какие-то, рожь, овощи, старые переменные, новые переменные, вот это всё.
Ну-с, так как же быть?

-- менее минуты назад --

То есть в конечном итоге да, "можем записать" таким образом, но как мы к этому пришли?

[SlayZar]

Просто нам тогда надо поменять местами собственные векторы и получим $Q=\begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & \frac{4}{5}\\ \end{pmatrix}$
И тогда
$$\begin{pmatrix} \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \\ -\frac{3}{5} & \frac{4}{5}\\ \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} -54 \\ 72\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 90 \\ \end{pmatrix}$

Значит, $20x^\('2\)+45y^\('2\)+90y'-135=0$
Приводим к каноническому виду и получаем то, что хотели)

[ИСН]

Как-то так. Только обычно это описывают в терминах "поменять местами переменные", если уж так надо. $x'=y,\;y'=x$

[Otta]

(TeX)

SlayZar
Не мучьте бедные формулы, а. Вот это:

$45x^\('2\)+20y^\('2\)+90x'+0y'-135=0$

пишется так:

$45{x'}^2+20{y'}^2+90x'+0y'-135=0$

и выглядит тогда так: $45{x'}^2+20{y'}^2+90x'+0y'-135=0$.

[Shtorm]

SlayZar в сообщении #924950 писал(а):

Каноническое уравнение получается $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$
Тогда фокусы имеют координаты $F_1=(-c;0)$ $F_2=(c;0)$ где $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4-9}$
Получаем корень из отрицательного...

Безотносительно к тому, правильно Вы нашли это уравнение или нет. Если есть уравнение эллипса $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ то фокусы такого эллипса лежат на оси ординат. А значит формула вот какая $c^2=b^2-a^2$ и фокусы имеют координаты $F_1=(0;-c)$, $F_2=(0;c)$

[ИСН]

У Вас, Shtorm, вид неканонический. В старину за такое побивали камнями.

[Shtorm]

ИСН, по определению, каноническим уравнением эллипса называется уравнение:

$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1$$

и не важно при этом, $a>b$ или $b>a$. Другое дело, что любой эллипс у которого $b>a$ можно рассмотреть в другой системе координат в которой $a>b$.

[Shtorm]

Ой, прошу прощения, ночью уже засыпал, опечатался, конечно же канонический вид:

$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$

Ну, это просто была ночная опечатка, а остальное я всё верно изложил.