Вероятность: кинотеатр и симметрия

[xolodec]

В перовом ряду кинотеатра, состоящем из $N$ кресел, сидит $n$ человек. Предполагая, что все возможные размещения этих $n$ человек равновероятны, найти вероятности следующих событий:
а) A - никакие два человека не сидят рядом
б) B - каждый из $n$ человек имеет ровно одного соседа
в) С - из любых двух кресел, расположенных симметрично относительно середины ряда, хотя бы одно свободно

К а) чувствую, как подобраться. Нужно рассмотреть убывающую факториальную степень $(N-n+1)^{[n]}$. Посчитал, проверил - сходится. Однако не могу сам себе обьяснить, почему именно так : $(N-n+1)$ - это количество всех перегородок между креслами за вычетом перегородок, соединяющих каждого из $n$ человек и соседнего к нему кресла. А вот как объяснить себе $+1$, я не знаю.

б) подскажите, как начать ?

[Shtorm]

xolodec, в пункте б) получается, что два человека сидят рядом, потом идёт одно или более пустых кресел, затем опять два рядом сидят, затем идёт одно или более пустых кресел, потом опять два человека рядом и т.д. Так может имеет смысл искать вероятность через вероятность противоположного события? Вероятность противоположного события - это вероятность события, что каждая пара человек сидит рядом с другой парой человек. Интересно, получается в пункте б) должно быть обязательно чётное число людей?

[Evgenjy]

Задачи б) и в) некоторым преобразованием (пересадкой зрителей) должны сводиться к задаче а). По моему именно в этом смысл задания.

[ewert]

xolodec в сообщении #924540 писал(а):

А вот как объяснить себе $+1$, я не знаю.

А я вот не понимаю, как перегородки могут соединять, а не разъединять. Выйти же на этот результат можно по-разному. Например, если считать перегородками занятые места, разделяющие незанятые, то задача сводится к расстановке $n$ перегородок между $(N-n)$ шариками или по краям. Таких мест всего $(N-n+1)$ и, следовательно, занятые места выбираются $C_{N-n+1}^n$ способами. Ну и потом людей по этим местам можно рассадить $n!$ способами.

xolodec в сообщении #924540 писал(а):

б) B - каждый из $n$ человек имеет ровно одного соседа

Это означает, что они сидят ровно парами; ну так и склейте их попарно -- задача сведётся к предыдущей.

[xolodec]

Благодарю, разобрался!
Спасибо всем большое!

[ewert]

Evgenjy в сообщении #924680 писал(а):

Задачи б) и в) некоторым преобразованием (пересадкой зрителей) должны сводиться к задаче а).

Задача в) к первым двум отнюдь не сводится. В ней всё тривиальнее: надо просто раскидать зрителей по одному на каждую из тех симметричных пар (ну с соответствующими оговорками).

[xolodec]

Правда для случая, когда число мест нечётное все будет не так тривиально.

[ewert]

Ровно так же тривиально, просто этот случай придётся разобрать отдельно (будет два слагаемых вместо одного, только и всего).

[xolodec]

Да, согласен вами. Будет два слагаемых.