Предел последовательности

[veez]

Имеется предел, и, соответственно, его нахождение:

$\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{\left(n^3+1 \right)\left(n^2+3 \right)}-\sqrt{n\left(n^4+2 \right)}}{2\sqrt{n}} .... =\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{n^3}\left(3n^3+n^2-2n+3\right)}{\frac{1}{n^3}2\left(\sqrt{n\left(n^3+1 \right)\left(n^2+3 \right)}+\sqrt{n^2\left(n^4+2 \right)}\right)}= =\lim_{n\to \infty}\frac{3+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n^3}}{2\left(\sqrt{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)\left(1+\frac{3}{n^2}\right)}+\sqrt{1 + \frac{2}{n^4}}\right)}=\frac{3+0-0+0}{2\left(\sqrt{(1+0)(1+0)}+\sqrt{1+0}\right)}= \frac{3}{4}$

Объясните пожалуйста поподробней, как раскрывается знаменатель в последней строке, после деления на $n^3$. Заранее спасибо.

[Otta]

А что там раскрывается? Там уже ничего не раскрывается, после деления осталось к пределу перейти.
Что именно непонятно?

[veez]

Otta, не могу понять, как ${\frac{1}{n^3}2\left(\sqrt{n\left(n^3+1 \right)\left(n^2+3 \right)}+\sqrt{n^2\left(n^4+2 \right)}\right)}$ превращается в {2\left(\sqrt{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)\left(1+\frac{3}{n^2}\right)}+\sqrt{1 + \frac{2}{n^4}}\right)

[Otta]

Так затаскивайте $\frac 1{n^3}$ под корень и делите каждую скобочку на ей причитающееся. Так, чтобы старший член был константой.

[upgrade]

или можно $n^6$ вытащить из под корня