График распределения электронной плотности атома водорода.

[AAA1111]

\rho_{100}(r) = \frac{dW}{dr} = \frac{4}{r_1^3} e^{\frac{-2r}{r_1}} r^2

где r_1 первый боровский радиус.
По такой формуле можно построить правильный график зависимости радиальной электронной плотности вероятности от радиуса, в атоме водорода в основном состоянии?
У меня не получается нужной кривой (максимум при 0,53 А).
В чём проблема?

[Ms-dos4]

Ну всё верно, максимум на боровской орбите. Я тоже хочу спросить, в чём проблема?

[AAA1111]

Ms-dos4 в сообщении #923735 писал(а):

Ну всё верно, максимум на боровской орбите. Я тоже хочу спросить, в чём проблема?

Проблема в том, что подставляю значения радиусов, вычисляю и получается плотность возрастает бесконечно пропорционально увеличению радиуса.

[Ms-dos4]

AAA1111
Каким образом? Экспонента убывает, и она забьёт на бесконечности любой многочлен. Так что вы криво считаете. Вот хотя бы альфовский график

[AAA1111]

Ms-dos4 в сообщении #923739 писал(а):

AAA1111
Каким образом? Экспонента убывает, и она забьёт на бесконечности любой многочлен. Так что вы криво считаете. Вот
хотя бы альфовский график

Ключевое слово - экспонента.
Я вместо неё заряд электрона подставлял
Пересчитал, получилось.
Всё дело в том, что квантовую механику не знаю, с наскока тему решил взять.
Приношу извинения за глупейшую ошибку.
И спасибо за помощь.

[Утундрий]

Физика - наука по сути простая. Главное в ней - знать что какая буква обозначает. (Вроде Фок)

[Munin]

AAA1111 в сообщении #923743 писал(а):

Всё дело в том, что квантовую механику не знаю, с наскока тему решил взять.

С наскока не получится.

В школьных учебниках квантовая механика не объясняется.
Чтобы нормально её понять, нужно взять сначала вузовские курсы математики:
- матанализ;
- линейная алгебра;
- ТФКП;
- дифференциальные уравнения.
Это минимум, а вообще хорошо бы познакомиться ещё и с уравнениями матфизики (дифференциальные уравнения в частных производных).
Кроме того, нужны вузовские курсы механики, электромагнетизма, оптики. И курс теоретической механики.

Всё это читается в вузе обычно 2-3 года. При самообразовании время надо брать больше, а не меньше. Вот такая прикидка.

-- 28.10.2014 19:07:33 --

Ну, если вас интересуют только атомные орбитали из школьного учебника химии, то можно, конечно, без всего этого обойтись.

[AAA1111]

Munin в сообщении #923845 писал(а):

Ну, если вас интересуют только атомные орбитали из школьного учебника химии, то можно, конечно, без всего этого обойтись.

Интересуют орбитали, но в подробностях.
Не только то, как выглядят, но и математически как наиболее точно описываются (где какая плотность в числах), и из каких формул это следует.
Это в первом приближении.
А во втором, откуда и как эти формулы выводятся.

А форум на предмет советов, что нужно для изучения квантовой механики я уже давно "просканировал."
И Ваши рекомендации математических предметов из других тем отдельно сохранил, запомнил и даже накачал литературы.
Сижу, потихоньку изучаю. Процесс осложняется тем, что и школьную то математику, что знал, и то почти забыл.
Но дело это утомительное, поэтому часто тянет сразу ближе непосредственно к предмету интереса (КМ).
Так что, можно сказать, чередую планомерное изучение, с "наскоками."

Кстати, у меня тут по этому поводу ещё такой вопрос возник, нельзя ли дать более "узкопрофильные" рекомендации?
Может необязательно весь матан или например, всю линейку изучать? Может непосредственно какие то разделы достаточны,
а что-то можно игнорировать, пропустить?

И ещё вопрос.
Встречал информацию, что максимум объёмной плотности вероятности достигается не как для радиальной зависимости, а при r = 0.
Если так, то как это понимать? Чем ближе место к протону, тем вероятность нахождения там электрона выше,
а максимальная внутри протона получается? Означает ли это что плотность на самом деле сгущается к центру, а не к сфере радиусом 0.53 А?
И "срез" соответственно тоже изображают, где-то со сгущением к кольцу, а где-то к центру.
Как правильно?

[Munin]

AAA1111 в сообщении #924570 писал(а):

Интересуют орбитали, но в подробностях.
Не только то, как выглядят, но и математически как наиболее точно описываются (где какая плотность в числах), и из каких формул это следует.
Это в первом приближении.
А во втором, откуда и как эти формулы выводятся.

Ну вот в цепочке "формула 1 следует из формулы 2, формула 2 - из формулы 3, формула 3 - из формулы 4, ..." - где вы предполагаете остановиться? Дело в том, что сложность этой цепочки быстро возрастает:
- Сначала идут вычисления элементарных функций.
- Потом интегралы.
- Потом решение дифференциального уравнения, а точнее - задачи математической физики на уравнение Шрёдингера.
- Потом - стоит вопрос о появлении самого уравнения Шрёдингера, он уже не чисто математический, а принадлежит теоретической физике.

Первый шаг вы ещё можете одолеть со школьными знаниями, ну максимум первые два. А полноценное знание приходит на шаге 3, не раньше. Как я уже говорил, это 3-й курс вуза.

AAA1111 в сообщении #924570 писал(а):

И Ваши рекомендации математических предметов из других тем отдельно сохранил, запомнил и даже накачал литературы.
Сижу, потихоньку изучаю. Процесс осложняется тем, что и школьную то математику, что знал, и то почти забыл.
Но дело это утомительное, поэтому часто тянет сразу ближе непосредственно к предмету интереса (КМ).
Так что, можно сказать, чередую планомерное изучение, с "наскоками."

Ну не знаю, принесут ли эти "наскоки" пользу. По моему опыту - они всегда были самое интересное, но потом на практике оказывалось, что не понимал я в этих "наскоках" на самом деле ничего, а когда возвращался к той же теме, доходя до неё в планомерном изучении, то приходилось перепонимать всё заново.

С другой стороны, они помогут сохранить мотивацию, огонь в груди (в глазах, у кого где - вплоть до пятой точки).

Ну, рекомендую вам для орбиталей посмотреть:
- страничку http://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_orbital в англоязычной Википедии, и http://en.wikipedia.org/wiki/File:Hydrogen_Density_Plots.png;
- формулы для того, что нарисовано, - в Ландау-Лифшиц "Квантовая механика" § 26-28, § 32, § 36 до подпункта "Дискретный спектр" включительно, §§ c математических дополнений. Правда, итоговую формулу вам придётся "собирать из кусочков", рассыпанных по трём параграфам. Это не очень удобно. Но зато вы поймёте, как эти кусочки (в принципе) вычисляются.
Особо обращу ваше внимание на то, что "химические" орбитали образуются линейной комбинацией (суммами) "физических" орбиталей, а кроме того, в атомах старше водорода принципиально структура функций остаётся прежней, но появляются поправки, из-за которых вырождение по $l$ снимается: уровни $2p$ оказываются выше уровня $2s,$ и так далее (но при этом, вырождение по $m$ не снимается). Это вырождение, грубо говоря, восстанавливается при "гибридизации" орбиталей для атомов в молекулах (точнее, вырождение не восстанавливается, а перераспределяется между орбиталями).

AAA1111 в сообщении #924570 писал(а):

Кстати, у меня тут по этому поводу ещё такой вопрос возник, нельзя ли дать более "узкопрофильные" рекомендации?
Может необязательно весь матан или например, всю линейку изучать? Может непосредственно какие то разделы достаточны,
а что-то можно игнорировать, пропустить?

Ну а как вы себе это представляете? Скажем, можно ли знать сложение и умножение в столбик, но не знать деления в столбик? Или в таблице умножения, пропустить какие-то строки? :-)

Единственное, что я могу сказать, это то, что физика опирается на математические факты, а не доказательства. Поэтому можно более поверхностно пройтись, обращая внимание только на факты (определения, формулировки теорем). Но при этом, с другой стороны, физика требует хороших навыков вычислений, и быстрого понимания формул, их сути, их свойств "на глаз", - это приходит с практикой, которую стоит набрать, решая учебные примеры. Да, это скучно и однообразно, зато сильно пригодится.

AAA1111 в сообщении #924570 писал(а):

И ещё вопрос.
Встречал информацию, что максимум объёмной плотности вероятности достигается не как для радиальной зависимости, а при r = 0.
Если так, то как это понимать? Чем ближе место к протону, тем вероятность нахождения там электрона выше,
а максимальная внутри протона получается? Означает ли это что плотность на самом деле сгущается к центру, а не к сфере радиусом 0.53 А?
И "срез" соответственно тоже изображают, где-то со сгущением к кольцу, а где-то к центру.
Как правильно?

Да, это верно, хотя только для $s$-состояний $l=m=0$ (наиболее ярко это проявляется для $1s$-состояния, или в виде квантовых чисел, $n=l=m=0$). Дело в том, что это разные понятия и разные величины: радиальная плотность вероятности и объёмная плотность вероятности. Поэтому одну в другую надо пересчитывать, по формуле
$\rho(r)=R_{nl}^2(r)r^2$
(для $s$-состояний объёмная плотность равна $\rho(r,\theta,\varphi)=R_{nl}^2(r)$ и не зависит от угла). Вот этот самый множитель $r^2$ и добавляется к тому, как устроена объёмная плотность вероятности. В других состояниях, не $s,$ этот множитель ничего принципиально не изменяет: там радиальная часть объёмной плотности и так обнуляется, за счёт других причин, то есть, $\rho(r)$ получается $\sim r^a$ для $a>2.$ Но в $s$-состояниях объёмная плотность не обнуляется, а выходит на конечную величину.

Да, в принципе получается, что максимальная плотность вероятности - около ядра и в самом ядре. Но это не "острый" максимум, на масштабах протона он довольно сильно сглажен. Помните, что протон мельче боровского радиуса примерно в 100 000 раз, и ядра старших атомов - тоже.

Со сгущениями к кольцу - это бывают правильные изображения срезов, если речь идёт не об $1s$-состоянии, а о старших $s$-состояниях. Там плотность ведёт себя как "матрёшка": в середине ядрышко, вокруг него сферический слой, вокруг него следующий сферический слой - всего $n$ таких слоёв. Но на срезе $1s$-состояния никаких колец быть не должно. Просто ровное облачко, наиболее плотное в центре.

[AAA1111]

Munin в сообщении #924639 писал(а):

Ну вот в цепочке "формула 1 следует из формулы 2, формула 2 - из формулы 3, формула 3 - из формулы 4, ..." - где вы предполагаете остановиться?

Совсем останавливаться не предполагаю до достижения глобальной цели.
Только временные остановки для движений вширь.

Munin в сообщении #924639 писал(а):

Ну, рекомендую вам для орбиталей посмотреть:
- страничку http://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_orbital
в англоязычной Википедии, и http://en.wikipedia.org/wiki/File:Hydro ... _Plots.png
;
- формулы для того, что нарисовано, - в Ландау-Лифшиц "Квантовая механика" § 26-28, § 32, § 36 до подпункта "Дискретный спектр" включительно, §§ c математических дополнений. Правда, итоговую формулу вам придётся "собирать из кусочков", рассыпанных по трём параграфам. Это не очень удобно. Но зато вы поймёте, как эти кусочки (в принципе) вычисляются.
Особо обращу ваше внимание на то, что "химические" орбитали образуются линейной комбинацией (суммами) "физических" орбиталей, а кроме того, в атомах старше водорода принципиально структура функций остаётся прежней, но появляются поправки, из-за которых вырождение по $l$ снимается: уровни $2p$ оказываются выше уровня $2s,$ и так далее (но при этом, вырождение по $m$ не снимается). Это вырождение, грубо говоря, восстанавливается при "гибридизации" орбиталей для атомов в молекулах (точнее, вырождение не восстанавливается, а перераспределяется между орбиталями).

Всё это уже давно проделано. Включая попытки разобраться в Ландау-Лившице. Безуспешные.
"Собрать из кусочков" на основе ЛЛ цельную картину пока так и не удалось.

Munin в сообщении #924639 писал(а):

Но при этом, с другой стороны, физика требует хороших навыков вычислений, и быстрого понимания формул, их сути, их свойств "на глаз", - это приходит с практикой, которую стоит набрать, решая учебные примеры. Да, это скучно и однообразно, зато сильно пригодится.

Мне бы задачник по матану такой, чтобы там физических задач побольше. Лучше если совсем без абстрактных примеров.
Такие бывают?
Те, что уже посмотрел (Демидович, Берман) мало годятся на эту роль. Физические задачки там с лупой розыскивать приходится.
А ведь решение таких конкретных прикладных задач оно обычно гораздо больше мотивирует.

Munin в сообщении #924639 писал(а):

Дело в том, что это разные понятия и разные величины: радиальная плотность вероятности и объёмная плотность вероятности. Поэтому одну в другую надо пересчитывать, по формуле
$\rho(r)=R_{nl}^2(r)r^2$

Правильно ли я понимаю, что радиальная плотность прямо пропорционально зависит от радиуса и от объёмной плотности.
И так как в данном случае с уменьшением радиуса, объёмная плотность хоть и возрастает, но медленнее чем убывает радиус.
Поэтому и радиальная плотность в целом уменьшается с уменьшением радиуса.
?

Munin в сообщении #924639 писал(а):

Да, в принципе получается, что максимальная плотность вероятности - около ядра и в самом ядре.

Необычная штука эта КМ.
Интуитивная логика подсказывает, что при попадании электрона внутрь протона должно произойти что-то особенное.
Превращение, наподобие как в случае столкновения электрона с позитроном.
Например, превращение в нейтрон, с последующим быстрым обратным "распадом."
Такое имеет место быть в КМ на самом деле при этом?

Munin в сообщении #924639 писал(а):

Но на срезе $1s$-состояния никаких колец быть не должно. Просто ровное облачко, наиболее плотное в центре.

Спасибо, с этим теперь мне всё ясно. Раньше думал, что кольцо. А оказывается сгущение к центру.
Особенно интересны в связи с этим рассуждения на тему "почему электрон не падает на ядро."
Перефразируя слова о верчении Земли, можно в этом смысле сказать: "И всётаки он падает."

[AAA1111]

AAA1111 в сообщении #924685 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что радиальная плотность прямо пропорционально зависит от радиуса и от объёмной плотности.
И так как в данном случае с уменьшением радиуса, объёмная плотность хоть и возрастает, но медленнее чем убывает радиус.
Поэтому и радиальная плотность в целом уменьшается с уменьшением радиуса.

Не радиуса, а площади поверхности (объёма) сферы (слоя). Неверно выразился.
Т.е. радиальный объём (если так можно выразиться) убывает быстрее, чем возрастает объёмная плотность.
Поэтому и радиальная плотность с уменьшением радиуса уменьшается несмотря на возрастание объёмной.
?

[Munin]

AAA1111 в сообщении #924685 писал(а):

Совсем останавливаться не предполагаю до достижения глобальной цели.

Ну тогда никаких "наскоков" и "забеганий вперёд" не нужно. Они даже вредны!

Но вот только не верится мне. Энтузиазм у таких храбрых портняжек очень быстро пропадает. Поначалу "не предполагаю", а потом лезут какие-нибудь отговорки типа "семья-работа-времени нет", и всё, сдулся. Пройти на одном энтузиазме длинный многолетний путь - весьма непросто. Тут в груди должен настоящий огонь гореть, а не просто так спичка.

AAA1111 в сообщении #924685 писал(а):

Всё это уже давно проделано. Включая попытки разобраться в Ландау-Лившице. Безуспешные.
"Собрать из кусочков" на основе ЛЛ цельную картину пока так и не удалось.

Ну тогда конкретнее. Выпишите здесь формулы: (32.7), (36.13), (d.13), (28.1), (27.3), (28.5), (c.4) (она удобней, чем (c.3), потому что меньше дифференцирований выполнять). Этого, в принципе, достаточно, но придётся делать дополнительные действия: чтобы вычислить волновую функцию для произвольных $n,l,m,$ потребуется сначала по (d.13) и (c.4) вычислить соответствующие $L_{n+l}^{2l+1}(z)$ и $P_l^m(\cos\theta),$ выполнив $n-l-1$ и $l-m$ дифференцирований. Чтобы не делать этого каждый раз заново, удобно составить табличку готовых результатов, и такие таблички в ЛЛ-3 приведены: для радиальной части в сноске под формулой (36.13), а для угловой - в конце § c математических дополнений. Ну ладно. Для начала, выпишите их, и подставьте все друг в друга (кроме формул (d.13) и (c.4)), и посмотрите на результат. Прямо здесь, в этой теме.

P. S. Лифшиц пишется через "ф", в данном случае (вообще, вариантов этой фамилии очень много, включая "Липшиц" и "Липшец").

AAA1111 в сообщении #924685 писал(а):

Мне бы задачник по матану такой, чтобы там физических задач побольше. Лучше если совсем без абстрактных примеров.
Такие бывают?
Те, что уже посмотрел (Демидович, Берман) мало годятся на эту роль. Физические задачки там с лупой розыскивать приходится.

Вы неправы. Вам нужен задачник по матану, чтобы в нём было побольше "расчётных" задач, и поменьше "доказательных". Эти "расчётные" задачи всё равно всегда будут абстрактными, с этим ничего не поделаешь. Но вы научитесь считать, понимать и читать формулы, анализировать функции. А это и нужно. Демидович на эту роль вполне годится, кажется.

И вам не нужно выискивать в задачнике отдельные задачи с лупой, а потом решать их. Нет, вам нужно массово прорешивать задачник, "от сих до сих". Это суровая тренировка, как в "курсе молодого бойца", чтобы "накачать мышцы", необходимые, чтобы идти дальше, и читать учебники по физике. Но если её не пройти, то дальше, в учебниках по физике, вы будете путаться в формулах на каждом шагу, как будто идёте по болоту. У вас возникнет отвращение к формулам, недоверие к ним, нежелание разбираться, и в конце концов, вы перестанете читать формулы, а в них заключена главная суть учебников по физике. Так что, вы перестанете усваивать физику из учебников по физике. Катастрофа. Результат не достигнут. Я такое видел у своих сверстников, увы.

AAA1111 в сообщении #924685 писал(а):

А ведь решение таких конкретных прикладных задач оно обычно гораздо больше мотивирует.

Да, с мотивацией в "курсе молодого бойца" тяжеловато. Ну, можно попробовать взять задачник по физике, и прорешивать его параллельно с задачником по математике. Чтобы вы увидели, как математические навыки реально пригождаются в физических задачах. Хотя таких "параллельных" задачников очень трудно подобрать.

AAA1111 в сообщении #924685 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что радиальная плотность прямо пропорционально зависит от радиуса и от объёмной плотности.

Нет. Видите там множитель $r^2$? Это значит, что радиальная плотность $\sim r^2$ - зависит от радиуса не прямо пропорционально, а пропорционально второй степени. Нарисуйте график $y=x^2,$ и посмотрите на него внимательно. Вот это - квадратичная пропорциональность, а не прямая. А прямая пропорциональность - это как график $y=x.$ Не надо их путать.

С объёмной плотностью - да, пропорциональность прямая.

AAA1111 в сообщении #924685 писал(а):

И так как в данном случае с уменьшением радиуса, объёмная плотность хоть и возрастает, но медленнее чем убывает радиус.
Поэтому и радиальная плотность в целом уменьшается с уменьшением радиуса.
?

Объёмная плотность хоть и возрастает, но медленнее, чем убывает квадрат радиуса. (Да, заодно и медленнее, чем убывает радиус, но это здесь не важно.) Поэтому и радиальная плотность в целом уменьшается с уменьшением радиуса.

В учебнике матанализа, это теория пределов, и сравнение бесконечно больших и бесконечно малых величин.

AAA1111 в сообщении #924685 писал(а):

Необычная штука эта КМ.
Интуитивная логика подсказывает, что при попадании электрона внутрь протона должно произойти что-то особенное.
Превращение, наподобие как в случае столкновения электрона с позитроном.
Например, превращение в нейтрон, с последующим быстрым обратным "распадом."
Такое имеет место быть в КМ на самом деле при этом?

Во-первых, "попадания" на самом деле практически не происходит. Дело в том, что максимум, о котором мы говорим, - у объёмной плотности вероятности. А плотность - это всё-таки плотность. Чтобы получить и оценить саму вероятность, мы должны эту плотность умножить на объём. А какой у протона объём?

Вот смотрите. Плотность вероятности "размазана" по радиусу до радиуса Бора. Можем очень грубо считать её постоянной до этого радиуса (мы несильно ошибёмся, не более чем на величину порядка единицы - то есть, меньше чем в 10 раз - меньше чем на порядок). Радиус Бора - это пол-ангстрема, ну можно округлить до ангстрема. Радиус протона - это фемтометр (тоже округляя до единицы, на самом деле 0,8 фм), то есть, в 100 000 раз меньше. Объёмы соотносятся как кубы линейных размеров, так что на объём протона приходится 1/1 000 000 000 000 000 (эту величину запишем $10^{-15}$) от объёма атома. Вот поэтому и вероятность у электрона оказаться "в протоне" будет столько же - от вероятности оказаться в атоме, то есть, от единицы.

Дальше, а что должно произойти? Превращение в нейтрон? Но суммарная энергия протона и электрона - меньше энергии нейтрона. Превращаться в нейтрон просто невыгодно! (Не во всех атомах, бывают радиоактивные атомы с таким типом радиоактивности, как электронный захват, - там это выгодно и происходит.) Поэтому электрон просто отскакивает от протона, и летит по своим делам дальше.

В-третьих, допустим, мы рассматриваем "превращение в нейтрон, с последующим быстрым обратным распадом". Да, такое может быть. Но как это проявится физически, на самом деле, в наблюдательных проявлениях? А никак! Засечь мы это не можем, "поймать" нейтрон на месте преступления - тоже. Так что, можно сказать, что фактически так и происходит - иногда происходит такое "превращение в нейтрон с обратным распадом", но очень редко и без последствий. Точнее, одно последствие есть: поправка к уровню энергии электрона в атоме. Очень малая. Её можно вычислить. И её можно попытаться измерить. И такая поправка действительно обнаруживается. Но бо́льшую часть этой поправки составляет другой процесс: не превращение протона и электрона в нейтрон, а испускание электроном фотона. Это называется "сдвиг Лэмба", и он был измерен в 1947 году, и позволил в 1948 году достроить квантовую электродинамику - очень важную теорию, на которой основаны все современные теории микроскопической физики. Квантовая электродинамика "углубляется на один шаг глубже", чем квантовая механика, и теории типа квантовой электродинамики (три модели для трёх типов взаимодействий) образуют Стандартную Модель элементарных частиц. А можно ли в этом сдвиге измерить ту часть, которая соответствует превращению протона и электрона в нейтрон - я, честно говоря, не знаю. Кажется, она ещё намного меньше, и засечь её с нашей точностью измерений нереально. Но в принципе, она там есть.

AAA1111 в сообщении #924685 писал(а):

Спасибо, с этим теперь мне всё ясно. Раньше думал, что кольцо. А оказывается сгущение к центру.
Особенно интересны в связи с этим рассуждения на тему "почему электрон не падает на ядро."
Перефразируя слова о верчении Земли, можно в этом смысле сказать: "И всётаки он падает."

Да, именно, на самом деле он падает! :-) Но не всегда, а только в $s$-состояниях.

Но падает и отскакивает. И толку с этого немного. Дело-то в том, что "электрон падает на ядро" в классической физике - это сокращение полной фразы, которая подразумевает, что он "падает, теряя всю энергию". Вот этого - в квантовой механике не происходит. Электрон не теряет энергию при падении, а остаётся всегда на одном и том же энергетическом уровне.

AAA1111 в сообщении #924706 писал(а):

Не радиуса, а площади поверхности (объёма) сферы (слоя). Неверно выразился.
Т.е. радиальный объём (если так можно выразиться) убывает быстрее, чем возрастает объёмная плотность.
Поэтому и радиальная плотность с уменьшением радиуса уменьшается несмотря на возрастание объёмной.
?

Да, вот так верно.

[AAA1111]

Munin в сообщении #924851 писал(а):

Энтузиазм у таких храбрых портняжек очень быстро пропадает.

Это из какой то сказки выражение?

Munin в сообщении #924851 писал(а):

Поначалу "не предполагаю", а потом лезут какие-нибудь отговорки типа "семья-работа-времени нет", и всё, сдулся. ... Тут в груди должен настоящий огонь гореть, а не просто так спичка.

Не знаю как насчёт горения, но у меня обычно интерес устойчивый, когда я чётко осознаю прямую целесообразность и/или необходимость действий.
Бывает останавливаюсь для отдыха или отработки предположительно более эффективных и/или быстрых вариантов достижения цели.
Но наука такая штука, что как ни крути, но так или иначе всё через неё делается.
И раньше или позже, всё равно приходится к ней возвращаться всегда.

P.S.: Если Вы меня пробуете на слабо пробивать (надеюсь это не так), то не нужно, это лишнее.
Я не "ситх" , а "джедай" .
По жизни черпаю энергию НЕ в страстях, они только мешают.
Да и хитрить вообще, всегда вредно.
Это я так, на всякий случай, и на будущее. А не к тому, что Вы именно так поступаете.

Munin в сообщении #924851 писал(а):

Ну тогда конкретнее. Выпишите здесь формулы: (32.7), (36.13), (d.13), (28.1), (27.3), (28.5), (c.4) ...
... и подставьте все друг в друга (кроме формул (d.13) и (c.4)), и посмотрите на результат.

(32.7)
$\psi = R(r)Y_{lm} (\theta , \varphi)$

(36.13)
$R_{nl} = - \frac{2}{n^2} \sqrt{\frac{(n-l-1)|}{[(n+l)|]^3}} e^{-\frac{r}{n}} (\frac{2r}{n})^l L_{n+l}^{2l+1} (\frac{2r}{n}) =$

$=\frac{2}{n^{l+2}(2l+1)|} \sqrt{\frac{(n+l)|}{(n-l-1)|}} (2r)^l e^{-\frac{r}{n}} F (-n+l+1, 2l+2, \frac{2r}{n})$

(d.13)
$L_n^m (z) = (-1)^m \frac{(n|)^2}{m|(n-m)|} F(-(n-m), m+1, z) = \frac{n|}{(n-m)|} e^z \frac{d^n}{dz^n} e^{-z} z^{n-m} =$

$= (-1)^m \frac{n|}{(n-m)|} e^{z} z^{-m} \frac{d^{n-m}}{dz^{n-m}} e^{-z} z^n$

(28.1)
$Y_{lm} = \Phi_m (\varphi) \Theta_{lm} (\theta)$

(27.3)
$\Phi_m (\varphi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi}$

(28.5)
$\Theta_{lm} = (-1)^m i^l \sqrt{\frac{(2l+1)}{2} \frac{(l-m)|}{(l+m)|}} P_l^m (\cos \theta)$

(c.4)
$P_l^m (\cos \theta) = (-1)^m \frac{(l+m)|}{(l-m)| 2^l l|} \sin^{-m} \theta \frac{d^{l-m}}{(d \cos \theta)^{l-m}} (\cos^2 \theta - 1)^l$

Без ошибок?
Подставлять буду пробовать чуть позже.
Чую будет не легко, ибо из всех этих формул не много что понимаю.
Например, даже не знаю, что обозначает вертикальная черта (как от знака модуля). На единицу вроде не похоже, на букву $l$ тоже.

Munin в сообщении #924851 писал(а):

P. S. Лифшиц пишется через "ф", в данном случае (вообще, вариантов этой фамилии очень много, включая "Липшиц" и "Липшец").

У меня с правописанием проблемы. И не знаю добирусь ли когда-нибудь до их устранения...
Мотивации в данном деле совсем мало.

Munin в сообщении #924851 писал(а):

Вы неправы. Вам нужен задачник по матану, чтобы в нём было побольше "расчётных" задач, и поменьше "доказательных". Эти "расчётные" задачи всё равно всегда будут абстрактными, с этим ничего не поделаешь. Но вы научитесь считать, понимать и читать формулы, анализировать функции. А это и нужно. Демидович на эту роль вполне годится, кажется.

И вам не нужно выискивать в задачнике отдельные задачи с лупой, а потом решать их. Нет, вам нужно массово прорешивать задачник, "от сих до сих"...

Ясно.

Насчёт всего остального в общем, тоже теперь понятно.
Спасибо за обстоятельные ответы.

[AAA1111]

И вот что получилось после подстановки:

(32.7)
$\psi = \frac{2}{n^{l+2}(2l+1)|} \sqrt{\frac{(n+l)|}{(n-l-1)|}} (2r)^l e^{-\frac{r}{n}} F (-n+l+1, 2l+2, \frac{2r}{n}) \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi} (-1)^m i^l \sqrt{\frac{(2l+1)}{2} \frac{(l-m)|}{(l+m)|}} P_l^m (\cos \theta)$

[Munin]

AAA1111 в сообщении #925067 писал(а):

Это из какой то сказки выражение?

Вроде, так и называется "Храбрый портняжка". Чуть ли не Гримм. Я думал, все знают.

AAA1111 в сообщении #925067 писал(а):

Не знаю как насчёт горения, но у меня обычно интерес устойчивый, когда я чётко осознаю прямую целесообразность и/или необходимость действий.

Вот с этим будет тяжело. Потому что цель далеко впереди, и прямой целесообразности тех шагов, которые вы делаете, не видно. Вы можете только поверить на слово, что эти шаги в конце концов приведут к цели. Но выглядит это всё равно как путь в тысячу ли, для которого приходится шагать и шагать.

Относиться к этому можно двумя разными способами: как к дороге в Страну Чудес, где на каждом шагу вам встречаются всё новые безделушки, чудеса и сокровища; или как к дороге к Ородруину, где каждый шаг тяжёл и безрадостен, и всё тяжелее и тяжелее. Первым способом идти легче, и даже если вы не дойдёте, то получите удовольствие. Вторым - выше шансы не дойти и бросить. Довольно очевидно, что я советую. Ищите, как радоваться тому, что вы встречаете по пути, черпать новый энтузиазм и мотивацию из промежуточных достижений.

AAA1111 в сообщении #925067 писал(а):

P.S.: Если Вы меня пробуете на слабо пробивать (надеюсь это не так), то не нужно, это лишнее.

Ну как, немножко "на слабо", немножко даю искренние советы.

AAA1111 в сообщении #925067 писал(а):

Без ошибок?
Подставлять буду пробовать чуть позже.
Чую будет не легко, ибо из всех этих формул не много что понимаю.
Например, даже не знаю, что обозначает вертикальная черта (как от знака модуля). На единицу вроде не похоже, на букву $l$ тоже.

Ох, ну вы меня насмешили! :-) Это не вертикальная черта, это восклицательный знак. Это единственная ошибка: везде у вас вместо $(n-l-1)!$ написано $(n-l-1)|.$

Этот восклицательный знак - это факториал. $k!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot k.$ Дополнительно принято соглашение, что $0!=1,$ а от отрицательных чисел факториала не существует.

AAA1111 в сообщении #925083 писал(а):

И вот что получилось после подстановки

Так, я думал, вы сообразите. В (36.13) надо подставлять первую строчку, с функцией $L_{n+l}^{2l+1}(\tfrac{2r}{n}),$ а не вторую, с функцией $F(-n+l+1,2l+2,\tfrac{2r}{n}),$ потому что мы приготовились дальше подставлять из (d.13) именно первую функцию.

В остальном всё окей, и можно для удобства перенести все коэффициенты левее, а все функции - правее. Функции - это части выражения, которые зависят от $r,\theta,\varphi,$ а коэффициенты - не зависят от них, а вычисляются только из $n,l,m.$ Собственно, коэффициенты нам особенно и не нужны - они влияют только на общую нормировку волновой функции. Иногда нам пригодится точно знать, что там в коэффициентах $(-1)^m i^l,$ если мы намерены складывать между собой разные волновые функции для получения "химических" орбиталей. А остальное можно пока "закрыть рукой", и назвать некоторой нормировкой, скажем, $N.$

Теперь попробуем составить табличку для вычисления (d.13) и (c.4). Если нам достаточно той химии, которая бывает реально в таблице Менделеева, а не в каких-то дальнейших элементах, то нам достаточно перебрать числа $n=1,\ldots,7,$     $l=0,\ldots,3,$     $m=-3,\ldots,0,\ldots,3.$ Кроме того, нас интересуют не все сочетания этих чисел, а только некоторые, см. http://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_orbital#Orbitals_table - более подробно про это написано в ЛЛ-3 в § 32 (формула (32.13)), в § 36 ((36.8), (36.11)) и в § 27 ((27.2), (27.9)-(27.11)). Итак, для (d.13) нам потребуются порядки производных $n-l-1=0,\ldots,6,$ а для (c.4) - порядки производных $l-m=0,\ldots,3$ (отрицательные $m$ мы можем не рассчитывать, потому что соответствующие функции - такие же, как для положительных $m,$ см. формулу (28.6)). Ну, до шестой производной вам может быть трудновато, так что ограничимся для начала первыми двумя производными, а потом, если не иссякнет желание - возьмём третью, и может быть, четвёртую.

Итого, возьмите формулу (d.13) (только последнее равенство), и замените в ней индексы на те, которые написаны в формуле (36.13), чтобы не путаться с буквами. Выпишите результат. Дальше, возьмите от этой формулы только последний кусок, производную, то есть часть за $\tfrac{d^{\ldots}}{dz^{\ldots}},$ и выпишите её отдельно. И разлинуйте табличку для разных $n,l,$ и начинайте её заполнять для разных $n+l$: сначала нулевая производная, потом первая производная, потом вторая производная... Идея в том, чтобы не вычислять все производные заново для каждой клеточки, а использовать результаты предыдущих вычислений.

Аналогично, возьмите формулу (c.4), и выпишите в ней только последний кусок, производную. Поскольку в этом последнем куске $\theta$ входит только как $\cos\theta,$ то тот факт, что это косинус, для взятия производной никакой роли не играет. Заменим его какой-нибудь более удобной переменной, например, $c=\cos\theta$ (потом надо будет не забыть заменить обратно!). И тоже разлинуйте табличку для разных $l,m,$ и начинайте её заполнять для разных $l$: сначала нулевая производная, потом первая, и так далее.