Проверить диффуры

[aush]

С диффурами пока не все идеально у меня )) поэтому прошу посмотреть, подсказать где неправильно.

$1) y''=8(1+3y)(1+y)$ с начальным условием (0,1,8)
$[ y'=p(y) ]$
$p dp=(8+32y+24y^2) dy$
$p^2=16y(1+y)^2+C$ C=0 из условия
$\frac{dy}{4(1+y)\sqrt{y}}=dx$
$x=\frac{1}{4}\int\frac{dy}{(1+y)\sqrt{y}}$
$x=2arctg(\sqrt{y})+C$; $C=-\frac{\pi}{2}$

$2) 5x(y')^2=7yy'-xyy''$
$[ y'=yz ]$
$6xz^2=7z-xz'$
$[ z=p^{-1} ]$
$6x=7p+x$
$p=\frac{5}{7}x$
$z=\frac{7}{5}x^{-1}$
$y'=\frac{7}{5}yx^{-1}$
$y=Cx^{7/5}$
Подставляю в исходное, получается $5*7^2x^{4/9}=5*7^2x^{4/9}-2*7x^{4/9}$
Глюк, только не вижу где...

$3) y''+100y=10tg(5x)$
Решаю $y''+100y=0$
$y=C_1sin(10x)+C_2cos(10x)$
Теперь нахожу коэффициенты$\left\{ \begin{array}{l}С'_1(x)sin(10x)+C'_2(x)cos(10x) = 0,\\ С'_1(x)cos(10x)-2C'_2(x)cos(10x) = tg(5x), \end{array} \right$
$$\left\{ \begin{array}{l} С'_1(x)=tg(5x)cos(10x),\\ C'_2(x)=-tg(5x)sin(10x), \end{array} \right$
$C_2(x)=-2\int sin^2(5x) dx=\int(cos(10x)-1)dx=\frac{1}{10}sin(10x)-x+C_2$
$C_1(x)=\int tg(5x)cos(10x)dx=\int (sin(10x)-tg(5x))dx=-\frac{1}{10}cos(10x)+\frac{1}{5}ln(cos(5x))+C_1$
Ответ: $y=(-\frac{1}{10}cos(10x)+\frac{1}{5}ln(cos(5x))+C_1)sin(10x)+(\frac{1}{10}sin(10x)-x+C_2)cos(10x)$

[Brukvalub]

aush писал(а):

$p^2=16y(1+y)^2+C$ C=0 из условия
$\frac{dy}{4(1+y)\sqrt{y}}=dx$

В этом переходе утеряна одна из двух возможностей.

aush писал(а):

Глюк, только не вижу где...

Глюк вот в этом переходе:

aush писал(а):

$6xz^2=7z-xz'$ $[ z=p^{-1} ]$ $6x=7p+x$

[aush]

Brukvalub писал(а):

aush писал(а):

$p^2=16y(1+y)^2+C$ C=0 из условия
$\frac{dy}{4(1+y)\sqrt{y}}=dx$

В этом переходе утеряна одна из двух возможностей.

$y=-1$? Кстати еще $y=-1/3$ тогда

Brukvalub писал(а):

Глюк вот в этом переходе:

aush писал(а):

$6xz^2=7z-xz'$ $[ z=p^{-1} ]$ $6x=7p+x$

А, в смысле $z'=-p^{-2}p'$ и тогда $6x=7p+xp'$ ?

[Brukvalub]

aush писал(а):

Brukvalub писал(а):

Цитата:

aush писал(а):
$p^2=16y(1+y)^2+C$ C=0 из условия
$\frac{dy}{4(1+y)\sqrt{y}}=dx$

В этом переходе утеряна одна из двух возможностей.


$y=-1$? Кстати еще $y=-1/3$ тогда

Вы, конечно, знаете, что, имея квадрат ненулевого числа, само число однозначно определить не удастся.

aush писал(а):

Brukvalub писал(а):
Глюк вот в этом переходе:

Цитата:

aush писал(а):
$6xz^2=7z-xz'$ $[ z=p^{-1} ]$ $6x=7p+x$

А, в смысле $z'=-p^{-2}p'$ и тогда $6x=7p+xp'$ ?

Да.

[aush]

Brukvalub писал(а):

Вы, конечно, знаете, что, имея квадрат ненулевого числа, само число однозначно определить не удастся.

А, ну да, конечно=))

Вторую дорешал, ответ получился $y=ln(C_2(x^8+C_1)^{1/6})$ Правильный, вроде.


Завис теперь на такой задачке:
$4) y=x((y')^2+y')+3/y'$
$[ p=y' ]$
$pdx=dx(p^2+p)+x(2pdp+dp)-3dp/p^2$
Интегрирующий множитель такой получился $e^{-1/p}$
$U_x=xp^2e^{-1/p}+h(p)$
$(xp^2e^{-1/p}+h(p))_p=x(2p+1)e^{-1/p}-3p^{-2}e^{-1/p}$
$h(p)=-3\int\frac{dp}{p^2e^{1/p}}=-3e^{-1/p}+C$
Промежуточный ответ $xp^2e^{-1/p}-3e^{-1/p}=C$
Что-то не то, по-моему. Нужно же еще $p=y'$ обратно заменять, как-то нехорошо получается...

[Brukvalub]

aush писал(а):

Завис теперь на такой задачке:
$4) y=x((y')^2+y')+3/y'$
$[ p=y' ]$
$pdx=dx(p^2+p)+x(2pdp+dp)-3dp/p^2$

А куда же девается у?

[aush]

Ну так я же беру дифференциал от обоих частей, а dy=pdx

[Brukvalub]

Посидел я тут, подумал и пришёл к выводу, что придётся Вам ограничиться параметрическим заданием решения

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x = f(p\;,\;C)} \\ {y = g(f(p\;,\;C)\;,\;p)} \\ \end{array}} \right. \]

Стало мне интересно - где это детей такими уравнениями мучают? Если мой вопрос Вас смущает - можете его игнорировать.

[aush]

Ну почему же прям-таки мучают, если я правильно понимаю, это просто уравнение Лагранжа $y=x\varphi(y')+\phi(y')$

Опа, кстати да, я только что и сам понял, что решение как раз и должно получаться в параметрическом виде, как вы написали. Моя невнимательность ((

А поводу "где" - мат-мех спбгу, так что так нам и надо))

[Brukvalub]

aush писал(а):

А поводу "где" - мат-мех спбгу, так что так нам и надо

Тогда, действительно, так вам и надо!