Простенький числовой конечный ряд.

[melnikoff]

Найти сумму
$S=2\cdot2+3\cdot2^2+4\cdot2^3+...+100\cdot2^{99}$.
Рассмотрим функциональный ряд
$S(x)=2x+3x^2+4x^3+...+100x^{99}=\sum\limits_{n=2}^{100}nx^{n-1}$.
$F(x)=\int S(x)dx = \int\left(\sum\limits_{n=2}^{100}nx^{n-1}\right)dx=\sum\limits_{n=2}^{100}\int nx^{n-1}dx=\\ =\sum\limits_{n=2}^{100}x^n + C = \frac{x^2(1-x^{99})}{1-x}+C.$
$S(x)=\frac{F(x)}{dx}=\frac{97x^{100}+2x}{(1-x)^2}.$
И окончательно
$S=S(2)=\frac{97\cdot 2^{100}+2\cdot 2}{(1-2)^2}=97\cdot 2^{100}+4.$
Правильно?

Дальше я решил запрограммировать ряд, считая сумму в лоб, и сравнить с ответом.

Цитата:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main(){
double S=0;
for(int i=100; i>1; i-- ){
S = S + i*pow(2, i-1);
}
cout << S << endl;
cout << 4 + 97*pow(2,100) << endl;
return 0;}

Результат работы программы:

Цитата:

1.25497e+32
1.22962e+32

Почему есть небольшое различие в числовых ответах? Кстати, при суммировании ряда слева на право сумма получается такой же.

[ИСН]

Правильный ответ - первый (точнее, 125497409422594710748173617332224). Это значит, что Ваш ответ в замкнутой форме - неправильный (не вникал, где именно), а вот суммирование правильное.

[melnikoff]

ИСН в сообщении #922312 писал(а):

в замкнутой форме

Что такое замкнутая форма?

[Cash]

Перепроверьте взятие производной.
Порядок до взятия - 100, после - 98

[ИСН]

У Вас выражение равно другому выражению. В одном выражении есть многоточие, в другом нет. Вот где нет, это и есть замкнутая форма.

[melnikoff]

Cash, точно!
$S(x)=\frac{F(x)}{dx}=\frac{100x^{101}-101x^{100}-x^2+2x}{(1-x)^2}.$
$S(2) = 99\cdot 2^{100}.$
Теперь ответы сходятся.

[Cash]

Ок.
Только правильно
$S(x) = \frac{d}{dx}F(x)$
или
$S(x) =F'(x)$
но не как у Вас записано