Существуют ли такие функции?

[Ktina]

Существуют ли такие функции $f$ и $g$, определенные для всех действительных $x$, что $f(g(x))=x+1$ при всех $x$, а $g(f(x))$ не равно $x+1$ ни при каких $x$?
(А. Блинков)

Первый пример, пришедший мне в голову:

$$f(x)=\dfrac{x}{2}, \quad g(x)=2x+2$$

Хочется получить пример покрасивее, чтобы функции были какие-нибудь необычные, а не линейные, как у меня. А то жалко - такая красивая задача и такое неожиданно простое решение.