Разложить многочлен на неприводимые над Q

[Петр Буравцев]

Пусть $P(x)$ - многочлен третьей степени. Разложить на неприводимые множители над $Q$ многочлен $P(x^2)$, если $P(x) = x^3 - x^2 - x - 1$

[Lion]

Условие точно правильное?

[Петр Буравцев]

Да. Многочлен ни 3ей, ни 6ой степени не раскладывается, и это надо доказать.

[Михаиль]

по теореме безу у полинома если есть корень в целых чилах то он делиться на свободный член без остатка

единственное что пришло в голову
может принять как функцию и через производные узнать как ведет себя полином?

[Профессор Снэйп]

Может, какую-нибудь замену сделать и критерий Эйзенштейна попробовать? Для $p=7$.

[Петр Буравцев]

что за умные слова?? можно попроще?) я в 11 классе, и этого не знаю

[Профессор Снэйп]

"Неприводимые множители над $\mathbb{Q}$" понимаете, вот и догадайся про 11 класс!

Критерий Эйзенштейна такой. Пусть $a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0$ --- многочлен с целыми коэффициентами и для некоторого простого числа $p$ число $a_n$ не делится на $p$, числа $a_{n-1}, \ldots, a_0$ делятся на $p$ и число $a_0$ не делится на $p^2$. Тогда этот многочлен неприводим над $\mathbb{Q}$.

Часто многочлен, не удовлетворяющий критерию Эйзенштейна, после некоторой замены начинает ему удовлетворять. Рассмотрим это дело на примере.

Покажем, что многочлен $f(x) = x^2+x+1$ неприводим над $\mathbb{Q}$. Положим $y=x-1$. Тогда $f(x) = f(y+1) = y^2+3y+3$. Возьмём $p=3$. Имеем $a_2 = 1$ не делится на $3$, $a_1=a_0=3$ делится на $3$ и $a_0=3$ не делится на $9$. Значит, $f$ неприводим.

[Петр Буравцев]

что-то у меня ничего не получилось с критерием Эйзенштейна((

[Brukvalub]

Положите х=у-1 и проверьте критерий для р=2.

[Петр Буравцев]

Brukvalub писал(а):

Положите х=у-1 и проверьте критерий для р=2.

получается, что коэффициент при x^1 равен 0, то есть не все коэффициенты делются на 2... Либо я неправилоно посчитал

[Профессор Снэйп]

Петр Буравцев писал(а):

Brukvalub писал(а):

Положите х=у-1 и проверьте критерий для р=2.

получается, что коэффициент при x^1 равен 0, то есть не все коэффициенты делются на 2... Либо я неправилоно посчитал

Вы хотите сказать, что ноль не делится на два?!

[Петр Буравцев]

Профессор Снэйп писал(а):

Петр Буравцев писал(а):

Brukvalub писал(а):

Положите х=у-1 и проверьте критерий для р=2.

получается, что коэффициент при x^1 равен 0, то есть не все коэффициенты делются на 2... Либо я неправилоно посчитал

Вы хотите сказать, что ноль не делится на два?!

ыы, делится

Добавлено спустя 6 минут 59 секунд:

Спасибо большое) ыы