Найти общее решение однородного дифф. уравнения 2-го порядка

[SlayZar]

Требуется найти общее решение однородного дифф. уравнения 2-го порядка:
$a_0(x)y''+a_1(x)y'=0$
где $a_0,a_1\in\ C[a,b]$ и $a_0(x) \not= 0$ на $[a,b]$. Указать какую-либо его ФСР.


Из теоремы Коши следует, что при непрерывности функций $a_0(x), $a_1(x)$ в окрестности т. $x_0 уравнение имеет в окрестности т. $x_0$ единственное решение и если $y_1(x)$ и $y_2(x)$ - решения, то и их линейная комбинация $y=c_1y_1+c_2y_2$ тоже будут решениями.
То есть чтобы найти ФСР надо найти какие либо частные решения. Но как это сделать, если у нас получается что коэффициент при $y''$ не константа, а функция от $x$. В интернете нашел только решения подобных уравнений, когда при $y''$ и при $y'$ какая либо константа. Помогите, пожалуйста, с чего начать...

[Otta]

Не надо искать частные решения и ФСР. Берите и решайте уравнение сразу.
Если очень трудно представить, как это - напишите на место коэффициентов при производных любые конкретные функции. Синус и косинус, например.

[Ms-dos4]

Понижайте порядок, делов то.

[SlayZar]

Ms-dos4 в сообщении #920413 писал(а):

Понижайте порядок, делов то.

Да, пробовал так:
$y'=\frac{dy}{dx}=p$
$y''=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$
Тогда
$a_0p\frac{dp}{dy}+a_1p=0$

$p=0$ - решение, а значит $y=C$ -решение

$a_0\frac{dp}{dy}+a_1=0$
$\frac{dy}{dp}=p'=-\frac{a_0(x)}{a_1(x)}$

Тогда $y'=p= - \int \frac{a_0(x)}{a_1(x)}$

А как тогда дальше действовать? Мы же не знаем конкретных функций...

[SpBTimes]

У вас как-то странно. $p = p(x)$

[Someone]

SlayZar в сообщении #920419 писал(а):

$y'=\frac{dy}{dx}=p$
$y''=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$

Нет, это в данном случае нельзя. Если бы уравнение не содержало $x$, тогда конечно. Но в данном случае оно $x$ содержит. Но зато не содержит… Чего?

[SlayZar]

Someone в сообщении #920422 писал(а):

SlayZar в сообщении #920419 писал(а):

$y'=\frac{dy}{dx}=p$
$y''=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$

Нет, это в данном случае нельзя. Если бы уравнение не содержало $x$, тогда конечно. Но в данном случае оно $x$ содержит. Но зато не содержит… Чего?

Не содержит $y$
То есть можем сделать замену $y=p(x)$
Тогда $\frac{dp}{dx}=-\frac{a_1}{a_0}p$

$\frac{dp}{p}=-\frac{a_1}{a_0}dx$

$y=p=-e^\(\int \frac{a_1}{a_0}dx$
Это верно?

[Someone]

SlayZar в сообщении #920424 писал(а):

То есть можем сделать замену $y=p(x)$

Вы здесь ничего не пропустили? Просто заменять букву $y$ на букву $p$ как-то не интересно.

[Ms-dos4]

Нифига так себе. Замена $\[y = p(x)\]$ вообще ничего не даёт, даже по здравому смыслу. Нужна замена $\[y' = p(x)\]$ (вы кстати по ней и написали "решение", а вот ответ опять по неверной). Так что исправьте. И константу кстати куда дели?

[Someone]

SlayZar в сообщении #920424 писал(а):

$\frac{dp}{p}=-\frac{a_1}{a_0}dx$

$y=p=-e^\(\int \frac{a_1}{a_0}dx$
Это верно?

Вы куда "минус" поместили? И где произвольная постоянная?

[SlayZar]

Да, конечно же имелась ввиду замена $y'=p$
тогда получаем $y`= p = e^\(-\int \frac{a_1}{a_0}dx$+C
$y=\int e^\(-\int \frac{a_1}{a_0}dx$$ +C$

Так?

[Ms-dos4]

SlayZar
Опять нифига так себе. Вторая константа где? (А точнее первая, которая попадает как множитель перед экспонентой). Ну и где дифференциал то у второго интеграла?

[SlayZar]

Да, точно,
Тогда получаем $y=\int $С$_1e^\(-\int \frac{a_1}{a_0}dx$$dx +C_2$

[Ms-dos4]

SlayZar
Да, так

[SlayZar]

Ms-dos4
Спасибо за помощь)

-- 19.10.2014, 01:02 --

Тут еще требовалось указать какую-либо ФСР. Мы можем просто взять $y=\int e^\(-\int \frac{a_1}{a_0}dx$$dx$ ?