Аффинные пространства-2

[main.c]

Найти прямую, проходящую через точку, заданную вектором $c$ и пересекающую прямые $a_0 +a_1t$ и $b_0 +b_1t$, и найти точки пересечения
искомой прямой с двумя данными прямыми:
а) $a_0 = (1, 0, -2, 1), a_1 = (1, 2, -1, -5);$
$b 0 = (0, 1, 1, -1), b 1 = (2, 3, -2, -4);$
$c = (8, 9, -11, -15);$

Даже не знаю как подступиться к данной задаче. Ну допустим искомая прямая имеет ввид: $x = c + dt$, осталось найти направляющий вектор. Тогда

$$d = \lambda_1(a_0 - c) + \lambda_2a_1 = \lambda_3(b_0 - c) + \lambda_4b_1$$

Получается 1 уравнение - маловато для 4 неизвестных $\lambda$. Куда двигаться дальше?

[gris]

Неизвестные скалярные, а уравнений два: скалярное и векторное. То есть получается пять уравнений на четыре неизвестных, что ожидаемо, так как у прямой может быть несколько направляющих векторов.
Я не присматривался к самим уравнениям, но их можно составить по-разному. Например, провести через точку и одну из прямых плоскость. Можно подумать над тем, сколько решений может быть у задачи. Хотя в конечном итоге выходит действительно линейная система из четырёх уравнений на четыре неизвестных.

[SpBTimes]

Вполне рационально составить несколько векторов и потребовать их коллинеарности

[ewert]

Через точку и одну из прямых проходит двумерное подпространство, которое должна пересекаться с другой прямой; любая точка пересечения и даст решение. Поэтому самый естественный подход -- выписать двухпараметрическое уравнение той плоскости и потребовать, чтобы точка на плоскости совпала с точкой на второй прямой. Получится система из четырёх уравнений для трёх неизвестных параметров, которая в общем случае решений, естественно, иметь не будет. Однако если числа в условии подобраны так, что решение всё-таки есть, то надо просто тупо решить эту систему. Т.е. надо эту систему честно выписать и попытаться решить методом Гаусса, а там уж что получится -- то и выйдет.

-- Пт окт 17, 2014 11:34:20 --

Пардон, не "любая точка пересечения", а почти любая: прямая, проходящая через найденную точку и через исходную, может оказаться параллельной первой прямой. Впрочем, это автоматически обнаружится при попытке найти вторую точку пересечения.