Недифференцируемая функция

[Pretty Kitty]

Нужно придумать функцию из действительной плоскости в числовую ось, такую, чтобы она была непрерывной, дифференцируемой в любой точке кроме начала координат, недифференцируемой в нем, но имеющей производные вдоль любого направления.

Мне кажется, что подходит$f(x, y)=sgn(y)(x^2+y^2)^{1/2}\alpha$, где $\alpha$ - минимальный угол между осью $x$ и прямой проходящей через начало координат и аргумент функции.

Единственное, что я не могу проверить - это дифференцируемость в остальных точках, из-за громоздкого описания функции не удается взять частные производные. Что тут можно сделать?

[ИСН]

Выкинуть эту и взять нормальную. (Может, эта тоже нормальная, но с ней возиться долго.) Нам что нужно, в сущности? Чтобы функция была гладкой вдоль любого луча. Ну вот и определите её вдоль каждого луча по отдельности. Возможно, это удобнее делать в полярных координатах.

[Pretty Kitty]

ИСН в сообщении #918432 писал(а):

Выкинуть эту и взять нормальную. (Может, эта тоже нормальная, но с ней возиться долго.) Нам что нужно, в сущности? Чтобы функция была гладкой вдоль любого луча. Ну вот и определите её вдоль каждого луча по отдельности. Возможно, это удобнее делать в полярных координатах.

Я ее именно так и определил. По сути я беру длину вектора вдоль прямой со знаком в зависимости от полуплоскости и умножаю на величину угла для непрерывности. При этом при ограничении на некоторое направление получается линейная функция, так как коэффициент постоянный.

Не понимаю как это сделать проще, сохраняя непрерывность и дифференцируемость вдоль направлений. То есть единственное, что приходит в голову, это взять и на каком-то луче умножить длину вектора на коэффициент, тогда на противоположном луче коэффициент должен быть противоположным, и между ними он должен как-то непрерывно изменяться.

[ИСН]

Pretty Kitty в сообщении #918433 писал(а):

коэффициент, тогда на противоположном луче коэффициент должен быть противоположным, и между ними он должен как-то непрерывно изменяться.

Как насчёт $\sin3\varphi$?

[Red_Herring]

Pretty Kitty в сообщении #918430 писал(а):

Мне кажется, что подходит$f(x, y)=\operatorname{sgn}(y)(x^2+y^2)^{1/2}\alpha$

Странные у Вас понятия о непрерывности!

[Pretty Kitty]

ИСН в сообщении #918438 писал(а):

Pretty Kitty в сообщении #918433 писал(а):

коэффициент, тогда на противоположном луче коэффициент должен быть противоположным, и между ними он должен как-то непрерывно изменяться.

Как насчёт $\sin3\varphi$?

Точно, подходит. Спасибо.

Red_Herring в сообщении #918441 писал(а):

Pretty Kitty в сообщении #918430 писал(а):

Мне кажется, что подходит$f(x, y)=\operatorname{sgn}(y)(x^2+y^2)^{1/2}\alpha$

Странные у Вас понятия о непрерывности!

А что не так? Там $\alpha$ зависит от прямой.

[Red_Herring]

Pretty Kitty в сообщении #918447 писал(а):

Там $\alpha$ зависит от прямой.

Ну тогда действительно будет непрерывной, но если под минимальным углом Вы понимаете положительный, то дифференцируемости на оси $x$ не будет.

[Pretty Kitty]

Red_Herring в сообщении #918455 писал(а):

Pretty Kitty в сообщении #918447 писал(а):

Там $\alpha$ зависит от прямой.

Ну тогда действительно будет непрерывной, но если под минимальным углом Вы понимаете положительный, то дифференцируемости на оси $x$ не будет.

А разве $sgn(y)$ не помогает?

[Red_Herring]

Pretty Kitty в сообщении #918463 писал(а):

А разве $sgn(y)$ не помогает?

Что-то я невнимательный сегодня. Конечно, помогает!

Тогда, действительно, Ваша функция $\sqrt{x^2+y^2} \arcsin \left(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$ то что требуется.