Функции случайных величин

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка:

Плотность распределения $f_{X}(t)$ случайной величины $X$ имеет вид:

$$f_{X}(t) = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}, t \in [-1;1]\\ 0, t \notin [-1;1] \end{matrix}\right.$$

Случайные величины $Y=X^2$ и $Z=-2X+3$ являются функциями от случайной величины $X$.

Найти:
а) функция распределения $F_{Y}(t)$ случайной величины $Y$;
б) моменты $E(Z)$, $D(Z)$, $K(X,Z)$.

Мои мысли:

Возможные значения случайных величин $X$ и $Y$ связаны зависимостью $y=x^2$. Так как случайная величина $Y$ не принимает отрицательных значений , то $F_{Y}(t) = P\{Y<t\} = 0$ для $t \leqslant 0$.

Пусть $t>0 $, тогда:

$$F_{Y}(t) = P\{Y<t\}= P\{X^2<t\}= P\{|X|<\sqrt{t}\}= P\{-\sqrt{t} <X<\sqrt{t}\} = \int\limits_{-\sqrt{t}}^{\sqrt{t}} \frac{1}{2} dt = \sqrt{t}$$

И получается, что

$$F_{Y}(t) = \left\{\begin{matrix} 0, t \leqslant0\\ \sqrt{t}, t>0 \end{matrix}\right.$$

Но это же неверно?

Меня смущает то, что я никак не использовал тот факт, что $f_{X}(t)$ на одном отрезке будет $\frac{1}{2}$, а на двух других будет $0$.

PS. Я делаю по примеру, где $f_{X}(t)$ задана на $-\infty<t<\+\infty$ одним выражением, а у меня несколько другой случай...

[Otta]

Limit79 в сообщении #918277 писал(а):

Я делаю по примеру, где $f_{X}(t)$ задана на $-\infty<t<\+\infty$ одним выражением, а у меня несколько другой случай...

Вот именно. Нарисуйте график плотности и смотрите взаимное расположение отрезка интегрирования с графиком при разных значениях $t$.

[Limit79]

Otta
То есть при $0 < t \leqslant 1$ будет

$$F_{Y}(t) = P\{Y<t\}= P\{X^2<t\}= P\{|X|<\sqrt{t}\}= P\{-\sqrt{t} <X<\sqrt{t}\} = \int\limits_{-\sqrt{t}}^{\sqrt{t}} \frac{1}{2} dt = \sqrt{t}$$

а при $t>1$ будет

$$F_{Y}(t) = P\{Y<t\}= P\{X^2<t\}= P\{|X|<\sqrt{t}\}= P\{-\sqrt{t} <X<\sqrt{t}\} = \int\limits_{-\sqrt{t}}^{\sqrt{t}} 0 dt = 0$$

?

[Otta]

Limit79 в сообщении #918290 писал(а):

а при $t>1$ будет

Еще раз.

[Limit79]

Otta
При $t>1$ функция распределения $F_{Y}(t)$ должна быть единицей, только вот как к этому прийти -- не могу понять

[Otta]

Otta в сообщении #918288 писал(а):

Нарисуйте график плотности и смотрите взаимное расположение отрезка интегрирования с графиком при разных значениях $t$.

[Limit79]

Otta
$f_{X}(t)=0$ при $t>0$.

[Otta]

Мы с Вами какие-то очень разные страницы сейчас читаем, похоже.

[Limit79]

Otta
График плотности $f_{X}(t)$:

А вот этот момент я не очень понял:

Otta в сообщении #918288 писал(а):

Нарисуйте график плотности и смотрите взаимное расположение отрезка интегрирования с графиком при разных значениях $t$.

[Otta]

Ну дык и отрезок интегрирования не мешало бы знать, где находится.

[Limit79]

Otta
Я не понимаю, что за отрезок интегрирования

-- 13.10.2014, 02:43 --

Otta
Вы, наверное, вот это имеете ввиду:

или нет?

[Otta]

Ох, печаль. Ну вот интегрируете Вы. Интегрируете же? По какому множеству интегрируете? Где оно находится? Отметьте. Посмотрите, что над ним, какой график. Где - какой.

-- 13.10.2014, 04:45 --

Limit79 в сообщении #918315 писал(а):

Вы, наверное, вот это имеете ввиду:

Нет, я имею в виду, что не мешало бы знать, какое отношение к этому всему имеет $t$, $\sqrt t$ или что там у Вас. А парабола красивая, но зачем она, не имею понятия.

-- 13.10.2014, 04:48 --

Окей, может, так поможет - чему равен Ваш интеграл, если $t=2$? Как считать?

[Limit79]

Otta в сообщении #918319 писал(а):

какое отношение к этому всему имеет $t$, $\sqrt t$

Я это весь вечер пытаюсь понять, но пока как-то никак. Вот тут давали совет, но не помогло :/

[Otta]

Ну одна малина, что то, что это. Вы не ответили,

Otta в сообщении #918319 писал(а):

чему равен Ваш интеграл, если $t=2$? Как считать?

[Limit79]

Otta
Наверное нулю, так как $f_{X}(2)=0$

-- 13.10.2014, 03:27 --

Подынтегральная функция -- это $f_{X}(t)$, а она нулевая вне отрезка $[-1;1]$, соответственно и интеграл от $f_{X}(t)$ вне этого отрезка будет равен нулю.