Справедлива ли запись?

[Pineapple]

Справедлива ли такая запись?
$v=|\mathbf{v}|=|\lim _{ \Delta t \rightarrow 0 } \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}|=\lim _{ \Delta t\rightarrow 0 } \frac{|\Delta \mathbf{r}|}{\Delta t}$

[cool.phenon]

$$\left|\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta r}{\Delta t}\right|=\left|\left(\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t},\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta t},\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta z}{\Delta t}\right)\right|=\sqrt{\left(\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2+\left(\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2+\left(\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta z}{\Delta t}\right)^2} $$

$$\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\left|\Delta r \right|}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2 }}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\sqrt{\frac{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2 }{\Delta t^2}}=\sqrt{\lim\limits_{t\to 0}\frac{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2 }{\Delta t^2}}=$$ $$=\sqrt{\lim\limits_{t\to 0}\frac{\Delta x^2}{\Delta t^2}+\lim\limits_{t\to 0}\frac{\Delta y^2}{\Delta t^2}+\lim\limits_{t\to 0}\frac{\Delta z^2}{\Delta t^2} } $$

[Pineapple]

Такую запись формулы я заметил в курсе общей физики Савельева.

[cool.phenon]

Просто произведение пределов (если они существуют), равно пределу произведения, это оставалось сказать в моём посте.

[ewert]

Pineapple в сообщении #917644 писал(а):

Справедлива ли такая запись?
$v=|\mathbf{v}|=|\lim _{ \Delta t \rightarrow 0 } \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}|=\lim _{ \Delta t\rightarrow 0 } \frac{|\Delta \mathbf{r}|}{\Delta t}$

Несправедлива, конечно. Она явно дискриминирует знак "минус" (а автор или авторы той книжки это просто тупо зевнули).

-- Сб окт 11, 2014 21:28:10 --

Справедливости ради -- тут есть объективная проблема в выборе словоизвержания. Вот, скажем: что такое производная по направлению?... Это понятие -- геометрическое по существу, и его геометричность принципиальна. Однако сформулировать его определение геометрично, и при этом формально, и при этом лаконично -- как-то затруднительно. Я обычно выкручиваюсь примерно так: "это $\lim\frac{f(M)-f(M_0)}{\pm|\overrightarrow{M_0M}|}$, а где там плюс, где минус -- вы и без меня прекрасно понимаете". И действительно -- все, естественно, понимают. Но это я могу позволить себе в живом общении, к тому же зная, что конкретно к этому определению я придираться в любом случае не буду. Авторам же любого учебника подобное или некошерно, или невместно (по вкусу). И это -- объективная проблема.

[Pineapple]

Еще вопрос. Верно ли, что $\lim _{ \Delta t\rightarrow 0 } \frac{|\Delta \mathbf{r}|}{\Delta t}=\frac{d|\mathbf{r}|}{dt} $ ?

[ewert]

Pineapple в сообщении #917722 писал(а):

Еще вопрос. Верно ли, что $\lim _{ \Delta t\rightarrow 0 } \frac{|\Delta \mathbf{r}|}{\Delta t}=\frac{d|\mathbf{r}|}{dt} $ ?

А вот это уже тупо неверно. Если в предыдущем высказывании был всего лишь элементарный зевок, то это -- тупо не верно ни в каком смысле.

[Shtorm]

Pineapple в сообщении #917722 писал(а):

Еще вопрос. Верно ли, что $\lim _{ \Delta t\rightarrow 0 } \frac{|\Delta \mathbf{r}|}{\Delta t}=\frac{d|\mathbf{r}|}{dt} $ ?

Получаем производную от длины радиус-вектора по времени (в Вашей правой части), в то время как нас интересует производная перемещения. Длина радиус-вектора может все время оставаться постоянной (следовательно Ваша производная будет равняться нулю), а при этом точка (конец радиус-вектора) будет бешено вращаться по окружности с огроменной ненулевой скоростью!

[Pineapple]

А так $\lim _{ \Delta t\rightarrow 0 } \frac{|\Delta \mathbf{r}|}{\Delta t}=|\frac{d\mathbf{r}}{dt}| $?

[Aritaborian]

(Про ТеХ)

Предел правильно записывается так: \lim \limits _{x \to a} f(x).

[Pphantom]

ewert в сообщении #917699 писал(а):

Несправедлива, конечно. Она явно дискриминирует знак "минус" (а автор или авторы той книжки это просто тупо зевнули).

Под $v$ в подобных случаях принято понимать абсолютную величину скорости, так что с минусом все в порядке.

[ewert]

Pphantom в сообщении #917739 писал(а):

Под $v$ в подобных случаях принято понимать абсолютную величину скорости, так что с минусом все в порядке.

Ничего не в порядке -- знаменатель может иметь любой знак. Я ж говорю: элементарный зевок.

Pineapple в сообщении #917733 писал(а):

А так $\lim _{ \Delta t\rightarrow 0 } \frac{|\Delta \mathbf{r}|}{\Delta t}=|\frac{d\mathbf{r}}{dt}| $?

А это Вы перепутали ссылки. Последнее верно, разумеется (применительно к исходному, но не к предыдущему, естественно); но -- банально и бессодержательно.

[Pphantom]

ewert в сообщении #917750 писал(а):

Ничего не в порядке -- знаменатель может иметь любой знак. Я ж говорю: элементарный зевок.

Да, действительно. Хотя $\Delta t$ настолько стандартно неотрицателен, что к этому все привыкли.

[bot]

ewert в сообщении #917699 писал(а):

Однако сформулировать его определение геометрично, и при этом формально, и при этом лаконично -- как-то затруднительно.

Не вижу затруднений.
Направление задаётся единичным вектором $e$. Производная функции $f: D\subseteq \mathbb R^n\rightarrow \mathbb R$ в точке $x_0\in D^o$ в направлении $e$ - это $\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{f(x_0+te)-f(x_0)}{t}$.
Чего здесь не хватает - геометричности, формализма или лаконизма?