100 точек на прямой (С. Берлов)

[Ktina]

На прямой расположено 100 точек. Около каждой точки написана сумма расстояний от этой точки до остальных. Могут ли числа, написанные около точек, равняться $1, 2, 3, \dots , 100$ в некотором порядке? (С. Берлов)

Мне кажется, что не могут.
Сумма расстояний от данной точки до остальных не меньше наибольшего расстояния между двумя точками.
Поскольку имеется точка с суммой, равной 1, наибольшее расстояние между двумя точками не больше 1.
Но тогда под точкой с наибольшей суммой расстояний будет написано число, не превышающее 99 (так как остальных точек ровно 99).
Противоречие.

Однако тут есть одно "но":

Натуральные числа $1, 2, 3, \dots , 100$ подобраны таким образом, что наибольшее из них в достаточно много раз превышает наименьшее.
Если вместо исходных чисел взять хотя бы $2, 3, 4, \dots , 101$, то моим методом задачу уже не решить.

Давайте сформулируем более общую задачу:

На прямой расположено 100 точек.
Около каждой точки написана сумма расстояний от этой точки до остальных.
Могут ли числа, написанные около точек, равняться каким-нибудь 100 последовательным натуральным числам в некотором порядке?

Если бы точек было не 100, а три, то задача решалась бы мгновенно, достаточно взять точки 1, 2 и 4, прямо как у Задорнова.

Для четырёх точек, кажется, решение становится уже проблематичным. А уж для ста точек...

Пожалуйста, помогите решить.
Заранее спасибо!

[hippie]

Ответ: не могут.

Пусть на прямой расположено $2n$ точек. Около каждой точки написана сумма расстояний от этой точки до остальных. Тогда наименьшее из написанных чисел повторяется дважды (и, следовательно, написанные числа не могут быть попарно различными).

Действительно, перенумеруем эти точки "слева направо". Тогда суммы расстояний от $n-$й и $(n+1)-$й точек до всех остальных совпадают (и равны сумме расстояний от любой точки между $n-$й и $(n+1)-$й точкой до всех $2n$ точек).

[Skeptic]

В условиях задано, что суммы - целые числа. Но это не значит, что расстояния между точками - тоже целые числа.

(Оффтоп)

Как правило, решение в таких задачах существует, поэтому надо его искать, а не опровергать.

[Shadow]

Skeptic, ищите, если делать нечего. Доказательство hippie верное. Для четного числа точек решение не существует, потому что две суммы должны быть одинаковыми. Для нечетного числа точек, больше 3, скорее всего тоже - по крайней мере для 5 точек - точноне существует.
Обозначим расстояния м/у соседними точками $x_1,x_2,x_3,x_4$ Сумма расстояний от первой точки до остальных $x_1+(x_1+x_2)+(x_1+x_2+x_3)+(x_1+x_2+x_3+x_4)=a_1$ Получается такая система:

$\\4x_1+3x_2+2x_3+x_4=a_1\\ x_1+3x_2+2x_3+x_4=a_2\\ x_1+2x_2+2x_3+x_4=a_3\\ x_1+2x_2+3x_3+x_4=a_4\\ x_1+2x_2+3x_3+4x_4=a_5$

где $a_1\cdots a_5$ - последовательные натуральные числа и $x_i$ - положительные. Естественно, $a_1>a_2>a_3<a_4<a_5$
Вычитанием сразу определяются (с точностью до перестановки) $x_2=1,x_3=2 \text{ или } x_2=1,x_3=3$ Дальше ясно.

Skeptic в сообщении #917555 писал(а):

В условиях задано, что суммы - целые числа. Но это не значит, что расстояния между точками - тоже целые числа.

К чему вы это написали?

[whitefox]

Что с того, что расстояния между точками могут быть не целыми?
Рассуждение hippie остаётся верным.

Пусть $S_n$ сумма расстояний от $n$-й точки до всех остальных, а $S_{n+1}$ сумма расстояний от $(n+1)$-й до всех остальных. И пусть $S'$ обозначает сумму расстояний от $n$-й точки до всех точек слева от неё, $d$ обозначает расстояние между $n$-й и $(n+1)$-й точками, $S''$ обозначает расстояние от $(n+1)$-й точки до всех точек справа от неё. Тогда:

$$S_n=S'+n\cdot d+S''$$

$$S_{n+1}=S'+n\cdot d +S''$$

[Ktina]

hippie
Спасибо!
Shadow
Спасибо!