Поиск кривой, удовлетворяющей начальным условиям

[SWin]

Дано: прямая выходит из начала координат под углом $\alpha$ и приходит в точку $(x_1;y_1)$ под углом $\beta$. Необходимо найти вогнутую непрерывную кривую. Физически - это профиль, по которому что-то может двигаться.
$f(0) = 0$ $f(x_1) = y_1$ $f'(0) = \tg \alpha$ $f'(x_1) = \tg \beta$

Реальные исходные данные, для которых нужно получить кривую:
$x_1 = 655, y_1 = 500, \alpha = 40^{\circ}, \beta = 52^{\circ}$

Казалось бы, простая задача, да не тут-то было.

Первая попытка решения - кубическое уравнение $Ax^3+Bx^2+Cx+D=0$. Четыре неизвестных, четыре начальных уравнения. Всё бы хорошо, но для нужных исходных данных кривая имеет точку перегиба на нужном промежутке [0; 655], вначале она идет выпуклая, потом вогнутая. Это не подходит, вся кривая должна быть ниже прямой, соединяющей (0;0) и $(x_1;y_1)$.
Я попробовал уравнение четвертой степени, надеясь, что доп. параметр позволит варьировать место точки перегиба, но нет - ручной подбор показал, что точка перегиба остается в одном и том же месте. Параметры уравнения пятой степени подбираются плохо, не удается найти решение.

Второе, что пришло в голову - искомая кривая есть дуга эллипса с неизвестными координатами центра $(x_e;y_e)$ и неизвестными полуосями.
$y=-b \sqrt{a^2-(x-x_e)^2}+y_e$
Аналитически в декартовой системе координат уравнения не решаются, пробовал численно в MathCAD, точное решение не находит, только приближенное (сильно уходит от заданного угла $\alpha$), а иногда только в мнимых числах.
Неужели бывают случаи, что невозможно достроить эллипс, исходя из наших начальных условий?
Интуитивно кажется, что построить можно всегда, да вот не выходит. Может искать кривую в других координатах?

Пробовал логарифмическое уравнение:
$-a \log_c(-x+b)+d = 0$, аналитическое решение которого показывает, что я имею слишком много начальных условий и система решений не имеет. Лишний параметр $c$.

Может есть какие-то идеи? В каком виде поискать кривую?
Может как-то графически?
Как это делают сопроматчики и механики?

[upgrade]

SWin в сообщении #917185 писал(а):

и приходит в точку $(x_1;y_1)$ под углом $\beta$.

это между касательной к кривой и прямой?

[ИСН]

Предположим, надо было бы найти путь с двумя начальными условиями, и мы бы стали искать функцию с двумя параметрами: $y=x+a+b$. Всё ли тут ладно? Или что-то не так? Может быть, параметров "на самом деле" не два?
Вот это и есть в точности Ваш случай с логарифмической функцией.
- - - - -
Сопроматчики и механики делают по-разному, исходя из дополнительных сведений о том, какие у конструкции (если это конструкция) должны быть механические свойства, или какие требования предъявляются к кривизне пути, например (если это путь). Значение самой функции и производной в двух точках об этом не говорит ничего.
- - - - -
Ваша кривая никогда не будет вся ниже прямой, соединяющей (0;0) и $(x_1;y_1)$. Такие уж начальные данные.

[SWin]

upgrade в сообщении #917188 писал(а):

это между касательной к кривой и прямой?

$\beta$ это угол касательной, построенной к искомой кривой в точке $(x_1;y_1)$.

ИСН в сообщении #917189 писал(а):

Ваша кривая никогда не будет вся ниже прямой, соединяющей (0;0) и $(x_1;y_1)$. Такие уж начальные данные.

Я тоже об этом думал, но поверить не могу. И кстати как это доказать? Может аналитически такую кривую записать и нельзя или очень сложно, но как же она может не существовать?
Чисто интуитивно, простейший путь между двумя точками - прямая, у нас это грубо говоря прямоугольник 6х5. А теперь я беру и рисую от руки непрерывную кривую, которая чуть-чуть уходит вниз от прямой и приходит в исходную точку снизу под нужным не углом $\beta$.

Черт! Как полезно кому-то что-то объяснять! Пока я писал последнее предложение, до меня наконец дошло, что построенная кратчайшая прямая будет иметь угол 37,35 гр., что меньше необходимого нам $\alpha=40$, и любая кривая обречена быть выпуклой с такими исходными данным.
Спасибо!

[ИСН]

SWin в сообщении #917194 писал(а):

Черт! Как полезно кому-то что-то объяснять!

Отож!