Инвариантные подпространства

[main.c]

Пусть есть линейный оператор $A: V \to V$ над полем вещественных чисел, $A_C(x+iy) = Ax + iAy$ - продолжение оператора на комплексификацию $V_C$. Утверждается, что если $x + iy$ - собственный вектор оператора $A_C$ c собственным значением $\lambda + i\mu, \mu \neq 0$, то $<x, y>$ - 2-мерное инвариантное подпростраство относительно $A$. Почему оно инвариантное я понял. После доказательства инвариантности доказывается двумерность, и я никак не могу понять это вроде бы элементарное доказательство.
Предположим, что $x, y$ линейно зависимы над $R$, тогда $x+iy = \gamma z, \gamma \in C, z \in V$. И вектор $z$ является тоже собственным относительно оператора $A_C$ с тем же собственным значением $\lambda + i\mu$, что невозможно, при $\mu \neq 0$.
Мне непонятно самое последнее предложение. Почему это так? Потому что собственное значение у вектора $z$ может быть только вещественное? Я просто не уверен, что это так.

[nnosipov]

Дык, очевидно. Если $z$ --- вещественный собственный вектор для оператора $A_C$, то он будет собственным и для оператора $A$, а значит, собственное значение, которому он принадлежит, должно быть вещественным. А у нас $\mu \neq 0$.

[main.c]

nnosipov в сообщении #917029 писал(а):

Дык, очевидно. Если $z$ --- вещественный собственный вектор для оператора $A_C$, то он будет собственным и для оператора $A$, а значит, собственное значение, которому он принадлежит, должно быть вещественным. А у нас $\mu \neq 0$.

Спасибо, я в принципе так и думал, просто хотел убедиться лишний раз.