Решётка и точные верхние и нижние грани множества

[AlX32]

Цитата:

Так определение-то какое? Давайте воспроизведем его для Вашей ситуации и отношения порядка.

Определение чего? Верхней и нижней граней?
Ну вот есть двухэлементное множество $\{a,b\}$.
$a$ будет точной верхней гранью, если $a \ge b$. И наоборот.
Аналогично с точной нижней гранью( только там $\le$ )
Простите за возможно глупый вопрос, но как сюда будет относится отношение частичного порядка?

-- 08.10.2014, 18:21 --

Если бы спрашивалось про $M$, то $\sup(M) = xOy, \inf(M)$ - точка, насколько я понимаю. Стоп, а пустое множество может быть нижней границей?

[Otta]

AlX32 в сообщении #916596 писал(а):

$a$ будет точной верхней гранью, если $a \ge b$

Вы ошибаетесь. В моем примере $a\le b$ или наоборот?

[AlX32]

Otta в сообщении #916675 писал(а):

AlX32 в сообщении #916596 писал(а):

$a$ будет точной верхней гранью, если $a \ge b$

Вы ошибаетесь. В моем примере $a\le b$ или наоборот?

Ни то, ни другое. Несравнимы $a$ и $b$ в вашем примере. Верно?

[Otta]

Верно. И что? Точная верхняя грань таки чему равна?

[AlX32]

Otta в сообщении #916690 писал(а):

Верно. И что? Точная верхняя грань таки чему равна?

Элемент, больший или равный как $a$, так и $b$... А не может быть действительно их объединение? Ведь даже точные грани не обязательно должны принадлежать множеству.

[Otta]

AlX32 в сообщении #916697 писал(а):

Элемент, больший или равный как $a$, так и $b$..

Как Вы понимаете это? Что здесь означает "элемент больший либо равный"? Потом, таких элементов много. Как будем выбирать?

AlX32 в сообщении #916697 писал(а):

А не может быть действительно их объединение?

Все может быть, только никто никому не верит на слово.

[AlX32]

Цитата:

Как Вы понимаете это? Что здесь означает "элемент больший либо равный"?

Очень хороший вопрос.
В плане множеств - множество, включающее другое в себя, либо совпадающее с ним. Т.е. такое подмножество универсума, включающее в себя наша множество.
А, вообще, не помешало бы четкое определения. Не подскажете, где найти?

Цитата:

Потом, таких элементов много. Как будем выбирать?

Наименьшее из этих элементов.

Скажите пожалуйста, верхняя и нижняя не определены случайно только для линейно упорядоченного множества?

[Otta]

AlX32 в сообщении #916717 писал(а):

А, вообще, не помешало бы четкое определения. Не подскажете, где найти?

В постановке задачи. Не могут говорить о частично упорядоченном множестве, не введя отношение порядка.

AlX32 в сообщении #916717 писал(а):

Скажите пожалуйста, верхняя и нижняя не определены случайно только для линейно упорядоченного множества?

Нет.

[AlX32]

Цитата:

В постановке задачи. Не могут говорить о частично упорядоченном множестве, не введя отношение порядка.

Тогда только для частично упорядоченного множества они определены? Или вообще для произвольного?
А по поводу вашего примера я правильно сказал?

Цитата:

В плане множеств - множество, включающее другое в себя, либо совпадающее с ним. Т.е. такое подмножество универсума, включающее в себя наша множество.

[Otta]

Правильно, да.

[AlX32]

Otta,
точные верхние и точные нижние грани определены для произвольного множества?
Второе, и $a$, и $b$ - полуплоскости. Они точно несравнимы?

[Otta]

AlX32 в сообщении #916732 писал(а):

Второе, и $a$, и $b$ - полуплоскости. Они точно несравнимы?

Вы меня не спрашивайте. Вы сравните. Отношение порядка есть, какая проблема сравнить?
Они точно несравнимы? Почему, если да?

AlX32 в сообщении #916732 писал(а):

точные верхние и точные нижние грани определены для произвольного множества?

Не совсем ясен вопрос. На любом ли универсуме можно определять точную верхнюю грань? Нет, конечно. Должно быть отношение порядка, как минимум.

[AlX32]

Цитата:

Вы меня не спрашивайте. Вы сравните. Отношение порядка есть, какая проблема сравнить?

С точки зрения включения они не сравнимы, т.к. $ \{a\} \subseteq \{b\} \vee \{b\} \subseteq \{a\}$ - неверно. Я прав?
Если все элементы множества несравнимы, то их точной верхней границей будет их объединение( таким образом, оно будет "равняться" каждому элементу )? Нет?

[Otta]

AlX32 в сообщении #916781 писал(а):

С точки зрения включения они не сравнимы,

Прав.

AlX32 в сообщении #916781 писал(а):

Если все элементы множества несравнимы, то их точной верхней границей будет их объединение

Этого нет в определении т.в.г. Действуйте буквально по определению, что ж такое.

[AlX32]

Otta, ок!
Пусть $x$ - т.в.г. Тогда должно выполняться $\{a\} \subseteq X \wedge \{b\} \subseteq X$, где $X$ - множестве верхний граней. Для т.в.г для $\subseteq$ выполняется равенство, т.е. $x = \{a\} \cup \{b\}$.