Интегральное уравнение

[Omega]

Всем доброго времени суток. Помогите пожалуйста разобраться.
Есть следующая задача: найдите такую $f$, чтобы $\forall x>0$

$$\int_{0}^{+\infty}f(y)\sin{xy}dy=xe^{-x^{2}}=g(x)$$

Далее - продолжим на $x<0\,\, g(x)$ нечётным образом, тогда:

$$g(x)=\int_{0}^{+\infty}b(y)\sin{xy}dy$$

,где

$$b(y)=\dfrac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}g(x)\sin{xy}dx$$

Отсюда

$$f(y)=b(y)=\dfrac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}xe^{-x^{2}}\sin{xy}dx$$

Всё ли пока что верно?
Спасибо.

[mihiv]

Нужно и $f(y)$ продолжить нечетным образом, т.к. только в этом случае интегральное уравнение можно считать преобразованием Фурье этой функции.

[Omega]

mihiv в сообщении #916210 писал(а):

Нужно и $f(y)$ продолжить нечетным образом...

Скажите, я правильно понимаю, что это на ответ не повлияет?

[mihiv]

Не повлияет, но только, по-моему, преобразование Фурье здесь будет для функции $\frac 12f(y)$.

[Omega]

Спасибо. Тогда получается остаётся вопрос лишь в том, каким наименее энергозатратным способом в ручную получить значение интеграла:

$$f(y)=b(y)=\dfrac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}xe^{-x^{2}}\sin{xy}dx$$

[Omega]

Есть ли у кого бы то ни было какие-нибудь идеи на счёт этого?!

[Ms-dos4]

$\[\int\limits_0^\infty {x{e^{ - {x^2}}}\sin pxdx} = \left. { - \frac{1}{2}\sin px{e^{ - {x^2}}}} \right|_0^\infty + \frac{p}{2}\int\limits_0^\infty {{e^{ - {x^2}}}\cos pxdx} = \frac{p}{2}\int\limits_0^\infty {{e^{ - {x^2}}}\cos pxdx} \]$
Отсюда имеем первое уравнение $\[{I_1}(p) = \frac{p}{2}{I_2}(p)\]$
Дифференцируем по параметру $\[{I_2}\] $
$\[\frac{{d{I_2}}}{{dp}} = - \int\limits_0^\infty {x{e^{ - {x^2}}}\sin pxdx} = - {I_1}(p)\]$
Имеем второе уравнение $\[{I_2}'(p) = - {I_1}(p)\]$
Решаем систему
$\[\left\{ \begin{array}{l} {I_1}(p) = \frac{p}{2}{I_2}(p)\\ {I_2}'(p) = - {I_1}(p) \end{array} \right.\]$
Для $\[{I_2}\]$ легко находим $\[{I_2} = C{e^{ - \frac{{{p^2}}}{4}}}\]$, и т.к. $\[{I_2}(0) = \int\limits_0^\infty {{e^{ - {x^2}}}dx} = \frac{{\sqrt \pi }}{2}\]$ находим константу $\[C = \frac{{\sqrt \pi }}{2}\]$. Отсюда $\[{I_1}(p) = \frac{p}{2}{I_2}(p) = \frac{{p\sqrt \pi }}{4}{e^{ - \frac{{{p^2}}}{4}}}\]$
Для вашего интеграла $\[\frac{2}{\pi }\int\limits_0^\infty {x{e^{ - {x^2}}}\sin (yx)dx} = \frac{{y\sqrt \pi }}{4}{e^{ - \frac{{{y^2}}}{4}}}\]$

[Lia]

Ms-dos4
Замечание за полное решение учебной задачи.

Ms-dos4 в сообщении #916509 писал(а):

Один из вариантов - вводим параметр и

Интеграл и так с параметром.

[Ms-dos4]

Lia
Ах да, я почему то на $\[y\]$ внимание не обратил. Сейчас подредактирую