Трансцендентное уравнение (использована монотонность)

[Andrey321]

Уравнение вида $15^{x/2} + 1 = 4^x$ ясно что решением будет $х=2$,но хотелось бы очень увидеть логическое решение.... помогите пожалуса.

[PAV]

Более наглядно записать это уравнение в виде $15^t+1=16^t$

Перенесите все в одну часть, найдите производную и убедитесь, что функция монотонна. Значит, корень может быть только один.

[Brukvalub]

PAV писал(а):

Перенесите все в одну часть, найдите производную и убедитесь, что функция монотонна.

А еще проще - так:

\[ (\frac{{15}}{{16}})^t + (\frac{1}{{16}})^t = 1\]

, тогда монотонность видна сразу.

[Andrey321]

разница 2-ух различных показательных функций g(t)=f(t)-h(t)=(a^t)-(b^t-1) в случае (a,b>1;t<0) не монотонна,но не в этом суть... доказать что есть решение на отрезке [t1;t2] можно,найдя где функция положительна и где отрицательна,а вот решить уравнение 15^(x/2)+1=4^x таки не получается t=x/2 .....

[PAV]

PAV:

Замечание за дублирование темы. Темы слиты.
И используйте, пожалуйста, принятый на форуме набор формул с помощью нотации TeX.

[Brukvalub]

Andrey321 писал(а):

разница 2-ух различных показательных функций g(t)=f(t)-h(t)=(a^t)-(b^t-1) в случае (a,b>1;t<0) не монотонна,но не в этом суть... доказать что есть решение на отрезке [t1;t2] можно,найдя где функция положительна и где отрицательна,а вот решить уравнение 15^(x/2)+1=4^x таки не получается t=x/2 .....

Вам показали полный путь решения задачи. Чего же Вы ещё хотите? И к какому вопросу относится Ваша, цитированная мной, реплика?

[Yuri Gendelman]

Brukvalub писал(а):

Вам показали полный путь решения задачи. Чего же Вы ещё хотите?

Попробую угадать.

Задача формально решена следующим способом:
- угадывается одно частное решение;
- доказывается, что у данного уравнения есть только одно решение.

Отсутствие чувства глубокого удовлетворения таким решением вполне объяснимо.

[Алексей К.]

Yuri Gendelman писал(а):

Отсутствие чувства глубокого удовлетворения таким решением вполне объяснимо.

А вот и зря. В послеучебной жизни, если приходится жить и работать с уравнениями, этот подход часто спасителен. И годится для доказательства многих общих утверждений --- когда нужна единственность решения.

Т.е., на мой взгляд --- класс задач, рассчитанный на наблюдение монотонности, весьма полезен.