Полунепрерывный снизу функционал

[cool.phenon]

Есть теорема: полунепрерывный снизу относительно слабой сходимости функционал $\varphi$ на слабо секвенциально компактном подмножестве $M$ банахова пространства достигает своей точной нижней грани и является ограниченным снизу. Вот её доказательство:

Пусть $u_n \subset{M}$ -- минимизирующая последовательность, то есть,

$$\lim\limits_{n\to \infty}\varphi(u_n)=\inf\limits_{u \in M}\varphi(u) $$

Поскольку $M$ -- слабо секвенциально компактное множество, то

$$\exists u_{n_{k}}: u_{n_{k}} \rightharpoonup u_0 \in M $$

С другой стороны, $\varphi$ -- полунепрерывный снизу относительно слабой сходимости, поэтому

$$\inf\limits_{u \in M}\varphi(u)\le \varphi(u_0)\le \lim\inf\limits_{k \to \infty} \varphi(u_{n_{k}})=\lim\limits_{n\to \infty}\varphi(u_n)=\inf\limits_{u \in M}\varphi(u) $$

Из последней строки следует утверждение теоремы. Могу согласиться с тем, что точная нижняя грань достигается, но откуда здесь следует ограниченность -- не пойму. Помогите разобраться.

[popolznev]

А что такое нижняя грань?

[cool.phenon]

$$L=\left\{x \in \mathbb{R}: x \le y \forall y \in M\right\} $$

$L$ -- множество нижних граней $M$

[popolznev]

Эхм-хм. Тогда такой вопрос: о нижней грани какого множества здесь говорится? И что такое ограниченность снизу? И ограниченность снизу какого множества здесь нужна?

[cool.phenon]

Дело понятное, о множестве значений функционала $\varphi$,$M$ в определении только для удобства, ну а что такое ограниченность, все знают

[popolznev]

Так если у множества значений функционала есть нижняя грань, которая достигается, то какие вопросы могут быть по ограниченности снизу этого же множества?

[cool.phenon]

Смущает, что точная нижняя грань может быть и минус бесконечностью.

[popolznev]

Так она же у вас достигается как значение функционала в точке $u_0$.

[cool.phenon]

Тогда вопрос ограниченности отпадает по определению.

[popolznev]

Ну, всё хорошо же.

[cool.phenon]

Да нет, это противоречит утверждению теоремы.

[popolznev]

Что противоречит, как?

-- 05.10.2014, 21:34 --

Функция $x \mapsto x^2+1$ на отрезке $[-1,1]$ достигает минимума, равного 1, в точке 0. Ограничены ли снизу значения этой функции? Если да, то каким числом?

[cool.phenon]

Если $\inf\limits_{u\in M}\varphi(u)=-\infty$, то для сколь угодно большого $N$ найдётся аргумент, для которого

$$\varphi(u)<-N $$

Смотрим на определение ограниченности снизу: $-C<\varphi(u)$, $C>0$. Тогда находим $N>C$ и получаем противоречие с утверждением теоремы.

[popolznev]

Ну опять 25. Откуда у вас возьмётся минус бесконечность, когда нижняя грань - это значение функционала в точке?

[cool.phenon]

Ну если считать, что в каждой точке функция может принимать только конечное значение, то вопрос отпадает. Но иногда вольно пишут, что функция может принимать бесконечность, но ладно.

Вот скажите,popolznev, Вам по приколу было меня по определениям гонять, вместо того, чтобы указать сразу на ошибку?