Уравнения прямых :)

[Candy]

Здравствуйте!

Задачу задали:
"Даны уравнения
x + y - 5√2 = 0
x + y = 0
параллельных сторон ромба и точки М (3; 5); N (1; 0), лежащие на прямых через две другие его стороны.
Найти уравнения этих прямых."

Не могу решить :'(((( Последняя задача осталась ((

Все думала, как подойти...

По логике, что-то, связанное с параллельностью прямых. Получается, через другие стороны ромба проходят прямые, на которых лежат эти точки.

Совсем ничего не выходит

Помогите, пожалуйста!!!!!!!

П.С. Ура! Решено!
Спасибо вам, Бодигрим, незваный гость и kvant_ed!

[Бодигрим]

Уравнения параллельных прямых совпадают за исключением свободных членов: $x+ky=a_1$, $x+ky=a_2$ Значит вам нужно найти три коэффициента. Это во-первых.

Во-вторых. Два уравнения относительно коэффициентов вы получаете, подставляя координаты точек $M$ и $N$ в соответствующие уравнения прямых. Третье вы получите исходя из свойств ромба как равностороннего четырехугольника.

[Candy]

Простите, какие коэффициенты?

И почему в конце у меня должно получится три уравнения?

Я не математик Тяжело девушке понять то, что Вы написали.

[нг]

Candy
Не стесняйтесь записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка). Это - правило форума.

[незваный гость]

Candy писал(а):

Получается, через другие стороны ромба проходят прямые, на которых лежат эти точки.

Интересное наблюдение! но верное по сути.

Давайте вспоминать: ромб — это параллелограмм, у которого равны длины сторон. У параллелограмма стороны лежат на параллельных прямых.

Уравнение прямой — это либо $y = k x + b$, либо $x = b$. У нас две стороны, значит прямых две. Дополнительно: прямые параллельны. У параллельных прямых $k$ равны. Поэтому либо наши прямые имеют уравнения $y = k x + b_1$ и $y = k x + b_2$, либо $x = b_1$ и $x = b_2$.

Ну и? у нас есть три неизвестных: $k$, $b_1$, $b_2$ (коэффициенты, о которых говорил Бодигрим). Что у нас есть? две точки, которые лежат на этих прямых, и условие, что мы имеем дело с ромбом, а значит длины всех сторон равны.

Возможный путь: исходим из того, что $M$ лежит на первой прямой, а $N$ — на второй. (Может быть, конечно, и наоборот, но нам ведь всё равно — что считать первым, что вторым). Тогда $b_1$ и $b_2$ можно выразить через $k$. Теперь — нужно найти точки пересечения прямых и расстояния между ними. После этого можно решить уравнение (равенство длин сторон) относительно $k$, и мы почти победили. Если, конечно, не забыли проверить второй случай (вертикальных прямых).

«Feci, quod potui, faciant meliora potentes.» Теперь дело за Вами: начинайте решать. Если встретитесь с затруднениями — пишите, но не забывайте написать, что сделали и что у Вас получилось.

Добавлено спустя 2 минуты 40 секунд:

Candy писал(а):

Тяжело девушке понять то, что Вы написали.

Я ещё ни разу не видел, как количество $X$ и $Y$ хромосом сказывалось бы на учёбе. (За исключением болезни Дауна, но вряд ли Вы претендуете на это.)

[Candy]

Бодигрим, спасибо за помощь, а Вам, незваный гость, большое спасибо за подробные пояснения.

Постараюсь понять...

Выражаем уравнение первой прямой и второй:
y_1 = kx_1 + b_1
y_2 = kx_2 + b_2

Выражаем из этих уравнений k, получаем равенство:
$\frac {y_1 - b_1} {x_1} = \frac {y_2 - b_2} {x_2}$

Подставляя значения точек M и N в соответствующие уравнения, выразим $b_1$ через $b_2$:
$\frac {5 - b_1} {3} = \frac {0 - b_2} {1}$
$5 - b_1 = -3b_2$
$b_1 = 3b_2 + 5$

Подставляем полученные данные в уравнение первой прямой. Получаем уравнения:
$y_1 = kx_1 + 3b_2 + 5$
$y_2 = kx_2 + b_2$

А дальше?

Зачем нам нужны равенства длин сторон? При нахождении пересечения прямых, какие уравнения составлять в систему?

Простите, если слишком непонятливая

[Бодигрим]

Цитата:

При нахождении пересечения прямых, какие уравнения составлять в систему?

Уравнения прямых, пересечение которых мы хотим найти.

Цитата:

А дальше?

Зачем нам нужны равенства длин сторон?

Именно затем и нужны, чтобы "дальше".

[незваный гость]

Candy писал(а):

Выражаем из этих уравнений k, получаем равенство:

А Вы заметили, что $k$ — общее, а $b_i$ — разные? Так что лучше выражать их через $k$.

Candy писал(а):

Зачем нам нужны равенства длин сторон?

Затем, что пока у нас есть две пары параллельных прямых. А их пересечение не ромб, а просто параллелограмм. А вот чтобы выбрать то $k$, при котором у нас ромб, нам надо убедится, что длины сторон параллелограмма равны.

P.S. Меня не будет пару дней. Советую построить графики при $k = 1$. Все четыре прямых на одном графике, и точки M, N. Потом повторить процесс при $k=2$.

[Candy]

Выражаю через k:
$b_1 = y_1 - kx_1$
$b_2 = y_2 - kx_2$

Подставим в уравнения координаты соответствующих точек (М - в первое, N - во второе).

$b_1 = 5 - 3k$
$b_2 = - k$

Подставим полученные значения в исходные формулы:
$y_1 = kx_1 + 5 - 3k$
$y_2 = kx_2 - k$

Здесь я могу получить значение $k$, подставив значения точек $M$ и $N$. Затем, получить $b_1$ и $b_2$. Но чувствую, что что-то тут не так...

Чтобы найти пересечение, беру $k = 1$, подставляя в формулы, получаю:
$y_1 = x_1 + 2$
$y_2 = x_2$

Получаю точку пересечения $M'$:
$M'$: $ \left\{ \begin{array}{l} y = x + 2 \\ x + y - 5 \sqrt {2} = 0 \end{array} \right \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = x + 2 \\ x + x + 2 - 5 \sqrt {2} = 0 \end{array} \right \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac {5 \sqrt {2} + 2} { 2 } \\ x = \frac {5 \sqrt {2} - 2} { 2 } \end{array} \right $

Получаю точку пересечения $M''$:
$M''$: $ \left\{ \begin{array}{l} y = x + 2 \\ x + y = 0 \end{array} \right \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = x + 2 \\ x + x + 2 = 0 \end{array} \right \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 1 \\ x = -1 \end{array} \right $


Получаю точку пересечения $N'$:
$N'$: $ \left\{ \begin{array}{l} y = x \\ x + y - 5 \sqrt {2} = 0 \end{array} \right \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = x \\ 2x - 5 \sqrt {2} = 0 \end{array} \right \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac {5 \sqrt {2}} { 2 } \\ x = \frac {5 \sqrt {2}} { 2 } \end{array} \right $

Получаю точку пересечения $N''$:
$N''$: $ \left\{ \begin{array}{l} y = x \\ x + y = 0 \end{array} \right \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 0 \\ x = 0 \end{array} \right $

Нахожу расстояние между $N'$ и $N''$ - $d_N$ (а, т.к. они равны, то и другие длины):
$ d_N = \sqrt {{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} = \sqrt {{(0 - \frac {5 \sqrt {2}} {2} )}^2 + {(0 - \frac {5 \sqrt {2}} {2} )}^2} = \sqrt {25} = 5 $

А дальше...

Если сегодня не решу, то дальше уже решать смысла нет :'( Завтра - сдавать

[Бодигрим]

Цитата:

Чтобы найти пересечение, беру $k = 1$...

Нет, что вы. Искать пересечение нужно в виде выражения от $k$, чтобы впоследствие получить уравнение на эту переменную.

[kvant_ed]

в этой задаче нужно использовать свойство, что у ромба расстояния между // сторонами равны d=5

0=1*k+a1
5=3*k+a2
d=5=abs(a2-a1)*sqrt(1/(1+k^2))

abs-модуль
sqrt-корень

дальше сами...

[Candy]

kvant_ed, т.е. мне $k$ высчитывать методом подбора?

Благодаря последнему замечанию Бодигрима, я вывела $x$ и $y$ точек $M'$, $M''$, $N'$ и $N''$.

Если использовать равенство длин сторон по формуле в моем предыдущем сообщении, то получается в результате всех подстановок и сокращений, что $0 = 0$.

Как мне вывести $k$ из полученных координат точек?

Получены точки:
$M' ({\frac {3k + 5 \sqrt {2} - 5 } {1+k}}; {\frac {3k^2 + 5 \sqrt {2} k - 5 k } {1+k}} + 5 - 3k)$
$M'' ({\frac {3k - 5} {1+k}}; {\frac {3k^2 - 5 k } {1+k}} + 5 - 3k)$
$N' ({\frac {k + 5 \sqrt {2}} {1+k}}; {\frac {k^2 + 5 \sqrt {2} k } {1+k}} - k)$
$N'' ({\frac {k} {1+k}}; {\frac {k^2} {1+k}} - k)$

Что с ними дальше делать (длины сторон ничего не дали, только удостоверили, что это - ромб)?

[kvant_ed]

Из первого у-ния a1=k
Из второго a2=5-3k
Подставив в третье:

(5-4k)^2*(1/(1+k^2))=25

или

25-40k+16k^2=25k^2+25
решив, получим
k=-40/9 или k=0
будет два решения:
y=-40/9x-40/9
y=-40/9x-25/3

второе
y=0
y=5 проверьте!

[Candy]

kvant_ed, спасибо за подсказку!

Но у Вас ошибка в расчетах при выражении $a_1$:
$a_1 = - k$, отсюда:
$ \frac {{(5-2k)}^2} {1+k^2} = 25$
$ 25 - 20k + 4k^2 = 25 + 25k^2$
$ 21k^2 + 20k = 0$
$ 21k^2 = - 20k$
$ 21k = - 20$
$ k = - \frac {20} {21}$

Я решила решать другим методом. Точки пересечений найдены - можно выразить уравнение прямой, проходящей через точки $M_1 (x_1; y_1)$ и $M_2 (x_2; y_2)$:
$ \frac {y - y_1} {y_2 - y_1} = \frac {x - x_1} {x_2 - x_1}$

Подставив значения точек $M'$ и $M''$, получаем результат:
$ \frac {y (1 + k) - 5 \sqrt {2} k - 5 } {3k + 5 \sqrt {2} k} = \frac {x (1 + k) - 3k - 5 \sqrt {2} + 5 } {5 \sqrt {2}}$

Подставив значение точки $M (3; 5)$, в результате получаем:
$k = 0$

Найдем $b_1$ и $b_2$:
$b_1 = 5$
$b_2 = 0$

Подставляя значения в уравнения прямых, получим:
$y_M = 5$
$y_N = 0$

Но мне надо получить формулы, а не результат

Где я неправильно поступила?

[kvant_ed]

Ошибка механическая, я ее видел, но не исправлял - дал возможность другим.

Ваш метод тоже верный, но подставив в уравнения
y=kx+b1
y=kx+b2
значения k,b1,b2 Вы получили искомые уравнения прямых (а не точки)
y=5
y=0