помощь по поводу литературы..

[fadetoblack]

у меня 11 класс.. готовлюсь к олимпиаде по математике... а у нас в 11 классе часто бывают задачи на графы... скажите, по чём готовиться, по чём решать .. Подскажите какие-нибудь хорошие книги, а ещё лучше если ссылки дадите... Книги желательно чтобы на саму теорию(теоретический материал) были.. ну и задачи конечно ..

И вот 1 интересная задачка заодно(правда сам пока не могу решить) ... :
в ряд выписаны подряд числа 1, 2, 3, ... , 1956.
С ними проделывается следующая операция: берём 1ую цифру(в данном случае 1) , умножаем её на 2 и прибавляем следующую за ней цифру(в данном случае 2). Затем полученное число умножаем на 2 и прибавляем след. цифру(тут 3) и т.д. В итоге из этой последовательности выписанных цифр получится какое-то число .. Если это число не однозначное, то с ним проделывается опять эта операция и т.д. до тех пор, пока в итоге не получится однозначное число ... Что это за число?

[maxal]

По поводу подготовки к олимпиадам - см. этот форум (требуется понимание английского языка):
http://www.mathlinks.ro/Forum/forum-217.html

Там же есть много материалов с предыдущих олимпиад: http://www.mathlinks.ro/Forum/resources.php

По поводу задачи - заметьте, что двухзначное число $\overline{xy} = 10x+y$ после проведения с ним указанной операции превращается в $2x+y$, и эти два числа сравнимы по модулю 8. Поэтому для решения задачи нужно рассмотреть остаток от деления числа 123...1956 на 8. Нетрудно понять, что он равен $956\bmod 8=4$ - это и есть искомое однозначное число.

[fadetoblack]

спасибо ... я уже думал, что никто не ответит ...
а вот по поводу задачи ... я посмотрел решение - там было написано: полученное число равно остатку от деления исходного числа на 8. ну и доказательства там не было.
а вот у меня тогда просто вопрос возникает. в вашем случае вы рассмотрели 2значное число. не нужно показывать конкретно , что это будет верно для любого числа, в котором больше чем 2 цифры? .. вы . извините меня, не подумайте, что я совсем тупой, т.к. это на самом деле почти очевидные вещи, но всё дже на олимпиаде всё нужно доказывать и я как бы не совсем знаю, как это сделать в данном случае.
спасибо всё равно. ваше решение понятнее , чем то, которое было в книге)))

[maxal]

fadetoblack писал(а):

а вот у меня тогда просто вопрос возникает. в вашем случае вы рассмотрели 2значное число. не нужно показывать конкретно , что это будет верно для любого числа, в котором больше чем 2 цифры?

Ну можно доказать по индукции по количеству цифр в числе. Или сразу рассмотреть $n$-значное число $\overline{x_1x_2\ldots x_n} = x_1\cdot 10^{n-1} + x_2\cdot 10^{n-2} + \dots + x_n\cdot 10^0$, которое при указанной операции превращается в $x_1\cdot 2^{n-1} + x_2\cdot 2^{n-2} + \dots + x_n\cdot 2^0$, и заметить, что $10^k-2^k$ делится на $10-2=8$ для всех $k\geq 1$. Поэтому указанное преобразование сохраняет остаток от деления числа на $8$.

[V.V.]

Еще бывает problems.ru.
А еще можно книги о питерских олимпиадах почитать.

[fadetoblack]

всё .. вот теперь я по поводу задачи доволен ...

Скажите, а вот где найти эти книги о питерских олимпиадах??