Решение Д.У. 2 порядка методом Рунге-Кутта

Searcher · 13.12.2007, 23:53

Срочно нужна помощь в решении дифференциального уравнения второго порядка методом Рунге-Кутта 4го порядка. Численным методом, естественно.

Необходимую теорию я знаю (все формулы и т.п.), но на практике ничего не получается, путаюсь...

Пример такой:
y''+2*y'+y=exp(-x)/x
Начальные данные: y(1) = 1; y'(1) = 0;

Затруднения в подсчете K1-K4...

Пожалуйста, помогите!)) Очень-очень срочно!!!

Imperator · 14.12.2007, 00:50

Для диф. уравнения $y'=f(x,y)$ с условием $y(x_{0})=y_{0}$ формула имеет вид (если я не ошибаюсь):
$y(x+h)\approx y(x)+\frac{1}{6}(K_{1}+2*K_{2}+2*K_{3}+K_{4}),$ где
$K_{1}=h*f(x,y),$
$K_{2}=h*f(x+\frac{h}{2},y+\frac{K_{1}}{2}),$
$K_{3}=h*f(x+\frac{h}{2},y+\frac{K_{2}}{2}),$
$K_{4}=h*f(x+h,y+K_{3}).$

V.V. · 14.12.2007, 09:07

Imperator писал(а):

Для диф. уравнения $y'=f(x,y)$ с условием $y(x_{0})=y_{0}$ формула имеет вид (если я не ошибаюсь):

Имеется семейство методов Рунге-Кутта 4-го порядка. Эти формулы красивые такие, симметричные, поэтому их часто и используют. А можно посмотреть на конкретное уравнение и выбрать другой метод из семейства. Вдруг он будет лучше?

Searcher · 14.12.2007, 09:32

Спс! Но эти формулы я знаю. У меня просто не получается нормально подставлять числовые значения. В этом я и прошу помощи.
Что на какие компоненты умножать и т.д...
Если можно, но напишите, пожалуйста, как считать (в данных числах данной задачи) хотя бы К1 и К2 (последнее важнее).

Антипка · 14.12.2007, 11:47

Ваше уравнение второго порядка следует свести к системе первого порядка, а далее все по приведенным выше формулам:
$\[ \left\{ \begin{gathered} u' = - 2u - y + \frac{{e^{ - x} }} {x} \hfill \\ y' = u \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$

Searcher · 14.12.2007, 13:29

Эх) Я же написал, что формулы знаю, но проблемы с непосредственной подстановкой.

Мое решение: (проверьте)

1) u0 = y; u1 = y'.

2) Получаю систему:
.......du0/dx = u1;
.......du1/dx = e^(-x)/x - 2*u1 - u0;

3) Дальше у меня коэф-ты получаются такие:

K1 = [ 0 ]
........[ -0.63 ]

K2 = [ -0.58 ]
........[ 0.51 ]

K3 = [ 0.0255 ]
........[ -0.701 ]

K4 = [ -0.0701 ]
........[ -0.79375 ]

Проверьте, пожалуйста! Ибо проблема вся именно в подсчете этих коэф-ов...

Добавлено спустя 57 минут 49 секунд:

Получил следущие вектора решений:

Yo = [ 1 ]
........[ 0 ]

Y1 = [ 0.98 ]
........[ 0.0166 ]

Y2 = [ 0.97824 ]
........[ -0.05 ]

Похоже на правду?!

Антипка · 14.12.2007, 15:45

Ваш дифур имеет аналитическое решение:
$\[ y = (x(\ln x + e - 1) + 1)e^{ - x} \]$
Это решение легко отыскать, если выразить общее решение вашего уравнения в виде
$\[ y = ue^{ - x} \]$
Сказать вам, похожи ли ваши результаты на правду, я не могу, т.к. вы не написали, чему в ваних выкладках равен шаг интегрирования h.

Yuri Gendelman · 14.12.2007, 15:50

Searcher писал(а):

Эх) Я же написал, что формулы знаю, но проблемы с непосредственной подстановкой.
Мое решение: (проверьте)

Вот с Вашего решения следовало бы начинать. В соответствии с правилами форума рекомендуется помогать с решением, а не решать за спрашивающего, особенно для совершенно стандартных задач.

Если Вы просите проверить, правильно ли Вы подставляете числа в известные Вам формулы, то выпишите подробно что и куда Вы подставляете. Только тогда Вам смогут помочь. А то Вы решения то и не привели, только ответы, даже шаг не указали.

Searcher · 14.12.2007, 22:03

Дело в том, что до ответов я довел уже после того, как разместил тему на этом форуме.

Теперь прошу проверить решение, т.к. все равно не уверен в подстановках...
Шаг здесь я беру h = 0.1

А вот так я считал коэф-ты для Yo:

$\mathbf{K_{1}(Y_{0})} = \left( \begin{array}{ccc} u_{1}(x_{0}) \\ \frac{e^{-x_{0}}}{x_{0}}} - 2*u_{1}(x_{0}) - u_{0}(x_{0}) \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ \frac{e^{-1}}{1}} - 2*0 - 1\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ -0.63 \\ \end{array} \right) $$$

$\mathbf{K_{2}(Y_{0})} = \left( \begin{array}{ccc} 0 + \frac{0.1}{2}}*(-0.63) \\ \frac{e^{-(1+ 0.05)}}{1 + 0.05}} - 2*(0 + \frac{0.1}{2}}*(-0.63)) - (1+\frac{0.1}{2}}*0)\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} -0.58 \\ 0.51 \\ \end{array} \right) $$$

$\mathbf{K_{3}(Y_{0})} = \left( \begin{array}{ccc} 0 + \frac{0.1}{2}}*(0.51) \\ -0.701 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0.0255 \\ -0.701 \\ \end{array} \right) $$$

$\mathbf{K_{4}(Y_{0})} = \left( \begin{array}{ccc} -0.0701 \\ 0.0686 + 0.1402 - (1 + 0.1*0.0255) \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} -0.0701 \\ -0.79375 \\ \end{array} \right) $$$

В конечном итоге у меня получилось:
$\mathbf{Y_{0}} = \left( \begin{array}{ccc} 0.98 \\ 0.0166 \\ \end{array} \right) $$$

А потом и
$\mathbf{Y_{1}} = \left( \begin{array}{ccc} 0.97824 \\ -0.05 \\ \end{array} \right) $$$

нг · 15.12.2007, 08:50

!	нг:
	Searcher На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ( $\TeX$ ; введение, справка). Пожалуйста, исправьте и сообщите модератору (ЛС).

!	dm:
	Возвращаю.

Searcher · 16.12.2007, 13:48

Вот нужно еще решить это же уравнение с помощью неявной схемы.
Вот что у меня получилось:

$$ y'' = \frac {e^{-x}} {x} - 2*y' - y; $\\ при начальных условиях: \\ y_{0} = 1; y_{0}' = 0; x_{0} = 1;$

$y_{i+1}' = \frac{y_{i+1} - y_{i}}{h}}; \\ y_{i+1}'' = \frac{y_{i+1} - 2*y_{i} + y_{i-1}}{h^{2}}}; \\$

$Находим y_{1} по формуле: \\ y_{1} = y_{0} + h*y_{0}' = 1 + 0.1*0 = 1; \\$

$Первое значение мы можем получить только для y_{2}, т.к. \\ y_{i+1} = 2*y_{i} - y_{i-1} + h^2 *( $$ \frac {e^{-x_{i}}} {x_{i}} $$ - 2*($$ \frac {y_{i} - y_{i-1}} {h} $$) - y_{i} ) \\ \\ y_{2} = 2*y_{1} - y_{0} + h^2 *( $$ \frac {e^{-x_{1}}} {x_{1}} $$ - 2*($$ \frac {y_{1} - y_{0}} {h} $$) - y_{1} ); \\ y_{2} = 2*1 - 1 + (0.1)^2 *( $$ \frac {e^{-1.1}} {1.1} $$ - 2*($$ \frac {1 - 1} {0.1} $$) - 1 ); \\ y_{2} = 0.99303 \\$

Правильно это или нет?