Поток векторного поля

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка: найти поток векторного поля

$$\vec{a} = (6x+5z) \cdot \vec{i} + (3x-y) \cdot \vec{j} + (2y^2-z+4) \cdot \vec{k}$$

через замкнутую поверхность $S=S_{1}+S_{2}$ (нормаль внешняя). Где:

$$S_{1}: x^2+y^2=(z-4)^2$$

и

$$S_{2}: z=6$$

Сначала нахожу поток $\text{П}_{1}$ через поверхность $S_{1}$, которая задается уравнением

$$x^2+y^2=(z-4)^2$$

или

$$z=4+\sqrt{x^2+y^2}$$

Орт нормали $\vec{n}_{1}^{0}$ к поверхности $S_{1}$:

$$\vec{n}_{1}^{0} = \frac{\operatorname{grad}(z-(4+\sqrt{x^2+y^2}))}{|\operatorname{grad}(z-(4+\sqrt{x^2+y^2}))|} = ... = \pm \frac{- \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \cdot \vec{i} - \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \cdot \vec{j} + \vec{k}}{\sqrt{2}}$$

Выбираем минус, так как нормаль образует тупой угол с осью $Oz$.

Но дальше, находя скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{n}$ и т.д., уже в двойном интеграле у меня получается какая-то каша, слишком много всего и ничего не сокращается...


Подскажите, пожалуйста, я правильно начал, или что-то где-то нужно по-другому?

Спасибо!

[Otta]

А Гаусса с Остроградским уже отменили?

[Limit79]

Otta
Забыл дописать, нужно и так и так.

[Otta]

Сочувствую. Не знаю, не люблю я тут параметризацию декартовыми, попробуйте что-нить более естественное. Имхо, краше выйдет.

[Limit79]

Otta в сообщении #912111 писал(а):

попробуйте что-нить более естественное

В смысле выбрать другую систему координат?

[Otta]

В смысле параметризацию другую поверхности взять. У Вас же поверхностный интеграл, Ваша воля выбрать.

[Limit79]

Otta
Ох нет, это для меня будет сложнее, но и на этом спасибо

Попробую еще раз перепроверить, может где накосячил с цифрами, должно все довольно хорошо быть.

[Otta]

Что сложнее? Вы окружность тоже как $y=\pm\sqrt{r^2-x^2}$ параметризуете или, может, находите другие способы?

[Limit79]

Otta
Я не очень понимаю, что Вы имеете ввиду.

[Otta]

Как Вы будете считать по части окружности $S: x^2+y^2=4$, лежащей в первой четверти, интеграл $\int\limits_{S}y\,dx$?

[Limit79]

Otta
Может окружность в параметрическом виде записать?

Я тут, кстати, посчитал численно в маткаде получившийся в стартовом посте интеграл и т.д., а потом посчитал Гауссом и все совпало

[Otta]

Limit79 в сообщении #912124 писал(а):

Может окружность в параметрическом виде записать?

Дык запишите. У нее ж не единственный параметрический вид. :) Можно не считать, запишите.

(Оффтоп)

Limit79 в сообщении #912124 писал(а):

Я тут, кстати, посчитал численно в маткаде получившийся в стартовом посте интеграл и т.д., а потом посчитал Гауссом и все совпало

С ума сойти. И что? )))

[Limit79]

Otta
$x=r \cos(t), y=r \sin(t)$

(Оффтоп)

Otta в сообщении #912127 писал(а):

С ума сойти. И что? )))

Значит я нигде не ошибся

[Otta]

Limit79
Это здорово, только окружность совершенно конкретная:

Otta в сообщении #912122 писал(а):

$S: x^2+y^2=4$,

Один параметр убираем, чему он равен? Иначе это не параметризация, а полярные координаты.