Энергия электрического поля

[tech]

Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, разобраться с формулой для нахождения энергии электрического поля.
К примеру, будем искать энергию шара, равномерно заряженного по объёму.

1 способ. Возьмём незаряженный шар и будем переносить из бесконечности заряд порциями $dq$ и помещать эти порции в слой $r \div r+dr$.
Имеем: $dU=q(r)dq/r$, где $q(r)=\frac{4}{3}\pi r^3 \rho$ - заряд, накопленный в шаре радиуса $r$; $dq=4\pi r^3 dr \rho$

Следовательно,

$$U=\int\limits_0^R {\frac{(4 \pi)^2 \rho^2}{3}r^4dr}=\frac{16\pi^2}{15}\rho^2 R^5 $$

2 способ. Есть формула для энергии электрического поля:

$$U=\frac{1}{2} \int\limits_V {\rho(\textbf{r})\varphi(\textbf{r})dV}+\frac{1}{2} \int\limits_S {\sigma(\textbf{r})\varphi(\textbf{r})dV}$$

В задаче поверхностных зарядов нет. Пробуем считать:

$$U=\frac{1}{2} \int\limits_V {\rho(\textbf{r})\varphi(\textbf{r})dV}=\frac{1}{2} \int\limits_0^R {\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \rho\cdot \frac{1}{r} \cdot 4 \pi r^2 dr}=\frac{1}{2} \int\limits_0^R {\frac{(4 \pi)^2 \rho^2}{3}r^4dr}$$

Ответ получается в 2 раза меньше. Где я допустил ошибку?

[DimaM]

tech в сообщении #911870 писал(а):

$dq=4\pi r^3 dr \rho$

Вообще-то $4\pi r^2 dr\rho$.

tech в сообщении #911870 писал(а):

2 способ. Есть формула для энергии электрического поля:

Это не формула для энергии электрического поля. Энергия электрического поля считается так:

$$U=\int\frac{E^2}{8\pi}dV.$$

tech в сообщении #911870 писал(а):

Ответ получается в 2 раза меньше. Где я допустил ошибку?

Потенциал во второй формуле неправильный (теперь у нас есть целиком заряженный шар радиуса $R$, а не маленький радиуса $r$).

[amon]

DimaM в сообщении #911887 писал(а):

Это не формула для энергии электрического поля. Энергия электрического поля считается так:

$$U=\int\frac{E^2}{8\pi}dV.$$

В "школьной" калибровке эти величины равны. Ошибка, как правильно заметили, в потенциале.