Квадратичные числа

[Edward_Tur]

Пускай

\[ p,q \]

- различные натуральные числа, большие единицы. Обозначим через

\[ M\left( {p,q} \right) \]

множество чисел вида

\[ px^2 + qy^2 \]

, где

\[ x,y \]

- целые. Известно, что если

\[ m \in M\left( {p,q} \right) \]

и

\[ n \in M\left( {p,q} \right) \]

, то и

\[ m \cdot n \in M\left( {p,q} \right) \]

. Найти все такие

\[ p \]

и

\[ q \]

.

Например, для

\[ p = 3 \]

и

\[ q = 6 \]

:

\[ \left( {3x^2 + 6y^2 } \right)\left( {3z^2 + 6t^2 } \right) = 3\left( {xz - 2xt - 2yz - 2yt} \right)^2 + 6\left( {xz + xt + yz - 2yt} \right)^2 \]

[neo66]

Некоторое продвижение:
Назовем пару $(p,q)$ с описанным в задаче свойством хорошей.

1)Во, первых, известное тождество:
$(x^2 + qy^2)(u^2 + qv^2) = (xu - qyv)^2 + q(xv + yu)^2$
То есть, пары $(1,q)$ - хорошие.

2)Пары $(p^2,p^2 q)$ тоже хорошие.

3)Пары $(p,q)$, где $p$ и $q$ - простые, плохие.

4)Пара $(4,9)$ плохая.

Интересно, чем мотивирована эта задача.