Моменты и закон распределения

[prof.uskov]

--mS-- в сообщении #910780 писал(а):

prof.uskov в сообщении #910751 писал(а):

В моих книгах по ТВ этого нет, там только вариант с матожиданием и дисперсией.

Возьмите нормальные книги по ТВ.

Вентцель "Теория вероятностей" - это плохая книга по теории вероятностей?

-- 23.09.2014, 11:42 --

--mS-- в сообщении #910780 писал(а):

Вы изначально спрашивали о неравенстве, которое переходит в равенство, если известны все моменты. Я предположила, что даже условие Крамера выполнено (существование экспоненциального момента), потому как без этого никакого равенства быть не может. И привела Вам ровно то неравенство, которое имеет шанс обратиться в равенство. Почитайте про большие уклонения, например, в учебнике А.А.Боровкова "ТВ" (1986, параграф 8 гл.6, стр.292).

Спасибо, посмотрю.

[upgrade]

prof.uskov в сообщении #910824 писал(а):

Вентцель "Теория вероятностей" - это плохая книга по теории вероятностей?

по ясности изложения - одна из лучших (по моему).

[prof.uskov]

upgrade в сообщении #910825 писал(а):

prof.uskov в сообщении #910824 писал(а):

Вентцель "Теория вероятностей" - это плохая книга по теории вероятностей?

по ясности изложения - одна из лучших (по моему).

Мало того, это стандарт для инженеров (но не математиков). Сейчас еще раз посмотрел, там нет обобщенного неравенства Чебышева...

-- 23.09.2014, 11:53 --

_hum_ в сообщении #910682 писал(а):

prof.uskov

$$\mathsp P(|\xi| \geqslant C)\leqslant \min_i \dfrac{\mathsf E|\xi|^i }{C^i}.$$

Это очень грубое условие. Функция min - жесткая, она равна наименьшему аргументу и не зависит от остальных. Применительно к рассматриваемому выражению может оказаться, что добавление информации о высших моментах не изменит условие, если соответствующие им аргументы велики.

[upgrade]

там и случайных блужданий нет...
ну и что? ))

[prof.uskov]

upgrade в сообщении #910832 писал(а):

там и случайных блужданий нет...
ну и что? ))

Самое плохое не в том, что там чего-то нет, плохо что там нет намека на то, что это есть в другом месте.

[--mS--]

upgrade в сообщении #910832 писал(а):

ну и что? ))

Ну и то. Освоить "тервер для домохозяек" и "знать теорию вероятностей" - две большие разницы.

[upgrade]

это верно, как и то что Вентцель не только для домохозяек.
предположу, что в случае дискретной случайной величины, для получения закона распределения число уравнений в системе со значениями моментов должно быть не меньше $2n$, где $n$ - количество значений случайных величин.
таким образом, чтобы узнать закон распределения $n$ случайных величин должны быть известно не меньше $2n$ моментов распределения.

П.С.

(Оффтоп)

а можно поинтересоваться практической применимостью решения вопроса: где на практике бывают данные о моментах при отсутствии данных о случайных величинах?

[prof.uskov]

upgrade в сообщении #910867 писал(а):

а можно поинтересоваться практической применимостью решения вопроса: где на практике бывают данные о моментах при отсутствии данных о случайных величинах?

Точно также как и в нечетких системах: вместо функции принадлежности гораздо удобнее работать с ее аппроксимацией, задаваемой набором параметров (например, LR-аппроксимация). Это дает радикальное уменьшение вычислительных затрат.
Аппроксимировать можно по точкам, но использовать для аппроксимации моменты интереснее, но у меня пока не получилось - знаний в области ТВ не хватает, а, может, и неэффективно это в итоге окажется, но сперва нужно сделать.

[_hum_]

prof.uskov в сообщении #910824 писал(а):

Вентцель "Теория вероятностей" - это плохая книга по теории вероятностей?

Она же для технических специальностей, а потому там изложение ведется соответствующим образом, и многие вопросы опущены.
Посмотрите учебники для физ-мат. специальностей, того же Феллера, Ширяева, Боровкова.

--mS-- в сообщении #910780 писал(а):

Я предположила, что даже условие Крамера выполнено (существование экспоненциального момента), потому как без этого никакого равенства быть не может. И привела Вам ровно то неравенство, которое имеет шанс обратиться в равенство.

Оно же с экспонентой, а значит, например, для распределений с конечным носителем равенство невозможно.

И я думаю, автор про другое спрашивал: как можно последовательным получением сведений о моментах распределения уточнять оценку вероятности событий A_x = $\{\xi > x\}$, или, что равносильно, функцию распределения $F_\xi (x) = 1 - P_\xi(A_x)$.
Возможно, по этому вопросу стоит рассмотреть

Теорема (неравенство Эссеена). Пусть $F = F(x)$ и $G = G(x)$ - функции распределения с характеристическими функциями $\varphi = \varphi(t)$, $\gamma = \gamma(t)$. Пусть $G(x)$ имеет производную $G'(x)$ с $\sup_x |G'(x)|\leqslant m$. Тогда

$$\sup_x\big|F(x) - G(x)\big|\leqslant \frac{2}{\pi}\int_{-T}^T\left|\frac{ \varphi(t) - \gamma(t)}{t}\right|dt \,+\, \frac{24}{\pi T}\sup_x |G'(x)|.$$

и исходить из того, что знание первых $n$ моментов позволяет восстановить первые $n$ членов тейлоровского разложения характеристической функции.

[Boffin]

_hum_ в сообщении #910912 писал(а):

И я думаю, автор про другое спрашивал: как можно последовательным получением сведений о моментах распределения уточнять оценку вероятности событий A_x = $\{\xi > x\}$, или, что равносильно, функцию распределения $F_\xi (x) = 1 - P_\xi(A_x)$.
Возможно, по этому вопросу стоит рассмотреть

Теорема (неравенство Эссеена). Пусть $F = F(x)$ и $G = G(x)$ - функции распределения с характеристическими функциями $\varphi = \varphi(t)$, $\gamma = \gamma(t)$. Пусть $G(x)$ имеет производную $G'(x)$ с $\sup_x |G'(x)|\leqslant m$. Тогда

$$\sup_x\big|F(x) - G(x)\big|\leqslant \frac{2}{\pi}\int_{-T}^T\left|\frac{ \varphi(t) - \gamma(t)}{t}\right|dt \,+\, \frac{24}{\pi T}\sup_x |G'(x)|.$$

и исходить из того, что знание первых $n$ моментов позволяет восстановить первые $n$ членов тейлоровского разложения характеристической функции.

И так, зная моменты мы восстанавливаем несколько членов тейлоровского разложения характеристической функции, от которой переходим к самой функции распределения, а точность оцениваем с помощью неравенства Эссеена?

[_hum_]

Boffin в сообщении #910985 писал(а):

И так, зная моменты мы восстанавливаем несколько членов тейлоровского разложения характеристической функции, от которой переходим к самой функции распределения, а точность оцениваем с помощью неравенства Эссеена?

Не совсем. Скорее так: имея моменты, можно в качестве приближений искомого распределения рассматривать любые другие распределения, имеющие такие же первые моменты (а значит, одинаковые тейлоровские разложения х.ф.) и говорить об абсолютной погрешности такого приближения, опираясь на неравенство Эссеена.

[--mS--]

_hum_ в сообщении #910912 писал(а):

Оно же с экспонентой, а значит, например, для распределений с конечным носителем равенство невозможно.

Безусловно. Но вряд ли для распределений с конечным носителем возникла бы дилемма, есть все или не все моменты распределения. Да и просто необходимость в неравенстве Чебышёва.

[_hum_]

--mS-- в сообщении #911014 писал(а):

_hum_ в сообщении #910912 писал(а):

Оно же с экспонентой, а значит, например, для распределений с конечным носителем равенство невозможно.

Безусловно. Но вряд ли для распределений с конечным носителем возникла бы дилемма, есть все или не все моменты распределения. Да и просто необходимость в неравенстве Чебышёва.

Да все равно о равенстве в обычном (а не каком-нибудь асимптотическом) смысле говорить бессмысленно, ибо оно должно было бы тогда приводить к

$$\mathsp F_\xi (x) = 1 - P(\xi \geqslant x) = 1 - \dfrac{\mathsf Ee^{\lambda\xi}}{e^{\lambda x}} = 1 - e^{-\lambda x + c(\lambda)}.$$

Насколько я имею представление, оценки наподобие крамеровских используются совсем для другой цели - чтобы оценить относительную ошибку отклонения для с.в. с экспоненциально убывающими распределениями. В первую очередь для нормального и близких к нему (ака сумм независимых с.в., подпадающих под ЦПТ). Потому и рассматриваются всюду экспоненты, чтобы "чувствительность увеличить".

[--mS--]

Я и говорю о больших уклонениях, не заметили?

[_hum_]

--mS-- в сообщении #911021 писал(а):

Я и говорю о больших уклонениях, не заметили?

Честно говоря, я думал, что ваше:

--mS-- в сообщении #910780 писал(а):

Почитайте про большие уклонения, например, в учебнике А.А.Боровкова "ТВ" (1986, параграф 8 гл.6, стр.292).

относится лишь к тому, где почитать о том, о чем вы говорите здесь:

--mS-- в сообщении #910780 писал(а):

Вы изначально спрашивали о неравенстве, которое переходит в равенство, если известны все моменты. Я предположила, что даже условие Крамера выполнено (существование экспоненциального момента), потому как без этого никакого равенства быть не может. И привела Вам ровно то неравенство, которое имеет шанс обратиться в равенство.

Иначе это же все вообще теряет смысл - оценка вероятностей больших уклонений, по-моему, никак не связана с исходной проблемой ТС. Его исходный вопрос звучал что-то типа:

пусть $Q_r = Q_r(x; m_1, \dots, m_r)$ - некоторая вещественнозначная функция от значений неотрицательной с.в. $\xi$ и значений $ r$ первых моментов этой с.в., такая что, что

$$P(\xi > x) \leqslant Q_r(x; m_1, \dots, m_r).$$

Спрашивается, для каких классов распределений можно ожидать существования последовательности таких $Q_1, Q_2, ....$, что для всякого распределения из этого класса

$$ \lim_{ r \rightarrow \infty} Q_r(x; m_1, \dots, m_r) \rightarrow P(\xi > x).$$