probabilistic toy game

[LynxGAV]

К каждой ячейке $i$ двухмерной декартовой решетки размера $N$ (общее число ячеек) прикреплена переменная с двумя состояниями $\epsilon_i=0,1$. На рисунке я их обозначила красным и зеленым цветом, соответственно. Динамика решетки определяется следующим образом:

0. используется случайная начальная конфигурация нулей и единиц, задается значение некоторого параметра (вероятности) $0<r<1$.

1. случайным образом выбирается ячейка (какая-нибудь $i$-тая из $N$ возможных) и выбирается случайное число ($\in [0,1]$): если оно больше, чем $r$, тогда a) если был выбран 0, то состояние ячейки не меняется; б) если была выбрана 1 (т.е. зеленая ячейка), то смотрим на состояния четырех соседей, и если среди них есть по крайней мере один 0, то он заменяется на 1 (если 0-лей несколько, то выбирается один наугад и заменяется на 1); если меньше, чем $r$, то состояние решетки не изменяется.

Рассматриваются периодические гран. условия (т.е. решетка как бы образует тор), чтобы у тех ячеек, которые находятся на границе, тоже было по 4 соседа.

Динамика может показаться несколько странной, но она специально упрощена до невозможности, чтобы было понятно, кто решится прочитать. А мне не понятно следующее.

Пусть $P(0)$, $P(1)$ - вероятности того, что данная ячейка занята нулем или единицей. Дифференциальное уравнение для $P(0)$ будет такое:

$\frac{dP(0)}{dt}=-r \ P(1) \ P(\geqslant \text{ один сосед} \ 0|1)$,
где $P(\geqslant \text{ один сосед} \ 0|1)$ обозначает условную вероятность: вероятность, что у ячейки в состоянии 1 есть один или больше соседей в состоянии 0. Ее можно посчитать следующим образом. Обозначим вероятность того, что у ячейки в состоянии 1 есть сосед в состоянии 0, через $x$, тогда $x=\frac{P(10)}{P(1)}$ и

$P(\geqslant \text{ один сосед} \ 0|1)=\sum\limits_{k=1}^{n=4} \ C_k^n \ x^k \ (1-x)^{n-k}=$
$=\sum\limits_{k=0}^{n=4} \ C_k^n \ x^k \ (1-x)^{n-k}-(1-x)^n=1-(1-x)^n=1-\left(1-\frac{P(10)}{P(1)}\right)^n$.

Kак записать диф. уравнения для $P(00)$ и $P(10)$ (вероятность найти пару соседствующих ячеек с такими состояниями) и можно ли их записать?

Чтобы было нагляднее, например, в уравнении для $\frac{dP(10)}{dt}$, очевидно, надо учесть три случая: изменение состояния нуля может произойти непосредственно в паре 1-0 или посредством другой 1-цы-соседки 0-ля, то есть через тройку 1-0-1 (в обоих случаях пара 1-0 превратится в пару 1-1 -- выделены на рисунке), и еще то, что образование пар 1-0 может произойти только в тройках 1-0-0.
Тот вариант, который я придумала, похоже, неправильный (не из-за того, что случаи рассмотрены неправильно, а потому что сама вероятность не та, что должна быть!), потому что должно сохраняться равенство $\frac{dP(00)}{dt}+\frac{dP(10)}{dt}=\frac{dP(0)}{dt}$, сумма же моих уравнений не дает уже посчитанное. [Или наверняка верные уравнения я могу записать для случая, когда 0-ль, сосед 1-цы, выбирается не наугад, если нулей несколько, а когда вероятность перехода пропорциональна числу 0-лей по соседству от 1-цы, но этот случай мне не интересен.]
Если у кого-то есть идеи по этому вопросу, буду рада. Или если ошибку в моих рассуждениях найдете .

[maxal]

LynxGAV писал(а):

1. случайным образом выбирается ячейка (какая-нибудь $i$-тая из $N$ возможных) и выбирается случайное число ($\in [0,1]$): если оно больше, чем $r$, тогда a) если был выбран 0, то состояние ячейки не меняется; б) если была выбрана 1 (т.е. зеленая ячейка), то смотрим на состояния четырех соседей, и если среди них есть по крайней мере один 0, то он заменяется на 1 (если 0-лей несколько, то выбирается один наугад и заменяется на 1); если меньше, чем $r$, то состояние решетки не изменяется.

Мне непонятно, зачем тут сложности с выбором случайного числа из $[0,1]$ и сравнением его с $r$, раз в одном из случаев вообще ничего не менятся, а выбор ячейки $i$ осуществляется независимо. Такие "ничего неменяющие" события можно выкинуть из рассмотрения и просто рассмотреть процесс выбор случайной ячейки $i$ и безусловного применения к ней правил а) или б). Динамика изменения таблицы будет та же самая, разве что "скорость" другая.

LynxGAV писал(а):

Пусть $P(0)$, $P(1)$ - вероятности того, что данная ячейка занята нулем или единицей. Дифференциальное уравнение для $P(0)$ будет такое:

$\frac{dP(0)}{dt}=-r \ P(1) \ P(\geqslant \text{ один сосед} \ 0|1)$,
где $P(\geqslant \text{ один сосед} \ 0|1)$ обозначает условную вероятность: вероятность, что у ячейки в состоянии 1 есть один или больше соседей в состоянии 0.

Во-первых, о какой конкретно ячейке идет речь? Вообще говоря, у каждой ячейки $i$ будут свои функции $P_i(0)$ и $P_i(1)$ (зависящие от начальной конфигурации таблицы и месторасположения в ней ячейки $i$). Во-вторых, это чего эти функции зависят? Могу предположить, что $t$ - это "время", но оно у нас дискретно, и как вы определяете производную по нему мне все равно непонятно.

[LynxGAV]

maxal писал(а):

Мне непонятно, зачем тут сложности с выбором случайного числа из $[0,1]$ и сравнением его с $r$, раз в одном из случаев вообще ничего не менятся, а выбор ячейки $i$ осуществляется независимо. Такие "ничего неменяющие" события можно выкинуть из рассмотрения и просто рассмотреть процесс выбор случайной ячейки $i$ и безусловного применения к ней правил а) или б). Динамика изменения таблицы будет та же самая, разве что "скорость" другая.

LynxGAV писал(а):

Динамика может показаться несколько странной, но она специально упрощена до невозможности, чтобы было понятно, кто решится прочитать.

В исходной модели, если случайное число меньше, чем $r$, то производится другое действие, но мне не хотелось бы вдаваться в подробности.

Скорость действительно будет другая, если для таких динамик пользоваться Gillespie algorithm, при котором будут осуществляться только те переходы, которые будут менять состояние решетки. Такие системы называют probabilistic cellular automata with asyncronous update (время непрерывно). [Такие же результаты, ну, с маленькими отклонениями, как показывает опыт (я нигде не видела теор. результатов), дает probabilistic cellular automata with syncronous update (в котором время дискретно, и могут измениться состояния сразу всех ячеек решетки). Тогда д.у. заменяется на maps.]

Начальное состояние решетки $\sigma (0)$ и $r$ (вероятность в единицу времени -- "event rate") определяют стохастическую динамическую систему: состояние решетки следует по стохастической траектории $\sigma (t)$. Однако, если решетка достаточно большая (скажем порядка миллиона ячеек), то некоторые величины (такие как среднее число ячеек в определенном состоянии или пар соседних ячеек в определенных состояниях) изменяются практически детерминистически. Поэтому могут быть найдены дифференциальные уравнения, которые (приблизительно) описывают ожидаемую динамику этих величин. Конечно, локализированные, дискретные и стохастические события, делают практически невозможным изучение точной динамики системы. Но именно скорость изменения определенных средних величин (макроскопическая пространственная статистика) можно предсказать с некоторой точностью. Что касается ячейки (или пары ячеек), то к ней не надо прикреплять никакого пространственного индекса, и рассматривать вероятность изменения ее состояния, исходя из событий которые могут произойти.

Эта динамика взята из статьи http://prola.aps.org/abstract/PRE/v66/i6/e066107 . Я бы выложила ее, но дома нет доступа, а электронный вариант остался на работе.

[LynxGAV]

maxal, спасибо, что прочитали и, может быть, пытались вникнуть, все удачно посчиталось (для случая с двумя переменными, теперь дело за четырьмя!). не зря Вы меня утром из-за коэффициентов погрызли

[Борис Лейкин]

LynxGAV писал(а):

Эта динамика взята из статьи http://prola.aps.org/abstract/PRE/v66/i6/e066107 . Я бы выложила ее, но дома нет доступа, а электронный вариант остался на работе.

arxiv.org/abs/cond-mat/0211197

[Борис Лейкин]

Дык при чём здесь уравнение Шредингера то, а?