Уравнение a^2+b^2=c^n - частный случай уранения Биля

[grisania]

Уравнение $a^2+b^2=c^n$, где $a$ и $b$ взаимно простые, - частный случай уранения Биля, который имеет параметрические решения.
Если $n=2$, то

$c=u^2+v^2$, $a=u^2-v^2$, $b=2uv$.

Если $$n=3$, то

$c=u^2+v^2$, $a=u^3-3uv^2$, $b=3u^2v-v^3$.

Для произвольного $n$ где-то на форуме dxdy приведены формулы для параметрических решений. Вроде их приводил maxal. Очень нужны эти формулы, ссылку на них, и если можно, то кто их впервые доказал. Можно писать в личку.

[nnosipov]

grisania в сообщении #910164 писал(а):

Очень нужны эти формулы, ссылку на них, и если можно, то кто их впервые доказал.

Эти формулы легко вывести, опираясь на факториальность кольца целых гауссовых чисел. Это, скорее всего, фольклор.

[grisania]

nnosipov в сообщении #910167 писал(а):

Эти формулы легко вывести, опираясь на факториальность кольца целых гауссовых чисел. Это, скорее всего, фольклор.

Я так понимаю, что для произвольного $n$ формулы выражаются через биноминальные коэффициенты. Наверно надо угадать вид биноминальных коэффициентов, а потом доказывать по индукции. Всё-таки где-то этот фольклор должен быть описан. Мне нужна только достаточность, т.е. при таком параметрическом виде $a, b, c$ уравнение $a^2+b^2=c^n$ выполняется.

[nnosipov]

Это вообще сущие пустяки. Для данного $n$ определим $a$ и $b$ исходя из равенства

$$ a+bi=(u+vi)^n, $$

а $c$ положим равным $u^2+v^2$. Тогда для любых $u$, $v$ получим верное равенство $a^2+b^2=c^n$. Осталось только раскрыть бином $(u+vi)^n$ и выделить вещественную часть (она будет равна $a$) и мнимую часть (она будет равна $b$). Ясно, что и $a$, и $b$ будут представлять собой однородные многочлены степени $n$ относительно параметров $u$, $v$. Для каждого конкретного $n$ их можно явно выписать, а в общем случае в формулах будут участвовать биномиальные коэффициенты. Обозначив эти многочлены через $P_n(u,v)$ и $Q_n(u,v)$, получим ответ в виде

$$ a=\pm P_n(u,v), \quad b=\pm Q_n(u,v), \quad c=u^2+v^2, $$

где $u$, $v$ --- произвольные целые числа, а комбинации знаков --- любые. Эти формулы дают все решения в целых взаимно простых числах $a$, $b$ и натуральных числах $c$.

Да, при нечётном $n$ знаки $\pm$ писать не нужно --- их можно загнать в параметры $u$ и $v$.

[Sonic86]

Вот в этой теме topic81942-15.html последнее сообщение. Можно по аналогии попытаться.

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #910482 писал(а):

Вот в этой теме topic81942-15.html последнее сообщение.

Да, к этой теме надо бы вернуться. Интересный результат.

[grisania]

grisania в сообщении #910164 писал(а):

Уравнение $a^2+b^2=c^n$, где $a$ и $b$ взаимно простые, - частный случай уранения Биля, который имеет параметрические решения.
Если $n=2$, то

$c=u^2+v^2$, $a=u^2-v^2$, $b=2uv$.

Если $$n=3$, то

$c=u^2+v^2$, $a=u^3-3uv^2$, $b=3u^2v-v^3$.

Для произвольного $n$ где-то на форуме dxdy приведены формулы для параметрических решений.

В действительности это гармонические многочлены по двум переменным $u, v$ (П.К. Суетин “Ортогональные многочлены по двум переменным” 1988 стр. 196.), и они определяются равенствами

$a = a(u,v) = \operatorname{Re}z^n =\sum\limits_{k=0} ^{[n/2]} (-1)^kC_n^{2k}u^{n-2k}v^{2k}$,

$b = b(u,v) = \operatorname{Im}z^n =\sum\limits_{k=0} ^{[(n-1)/2]} (-1)^kC_n^{2k+1}u^{n-2k-1}v^{2k+1}$,

где $z=u+iv$. Мне нравится фраза Суэтина - "Как известно, однородные гармонические многочлены по двум переменным определяются равенствами", которые я выписал выше и опять без их вывода. Может быть ещё где-то "известно" про однородные гармонические многочлены (но с выводом равенств), то был бы рад ссылкам. Я знал, что равенства для $n=2$ и $n=3$ задают гармонические многочлены, но не знал равенств для $\forall n$. Мне же важна только их гармоничность. Может быть знание равенств выше как однородных гармонических многочленов будет полезна для диофантовых уравнений.

[nnosipov]

grisania в сообщении #910955 писал(а):

Мне же важна только их гармоничность.

Ну, она-то очевидна --- как-никак вещественная и мнимая части голоморфной функции $z^n$, для которой имеют место условия Коши-Римана.