Критерий интегрируемости.

[main.c]

Повторяя лекции наткнулся на 1 момент в доказательстве, которого раньше не замечал. Если кратко, то необходимость в лекциях доказывается так.
Пусть функция интегрируема, тогда по критерию Коши, $\forall \varepsilon$ существует $\delta > 0$, такое, что если $\lambda < \delta$, то для любых 2 разбиений с таким параметром имеет место неравенство:

$$|\sigma(f; P, \xi') - \sigma(f; P, \xi'')| < \varepsilon$$

Тогда пользуясь тем, что для $\forall \varepsilon > 0$ и любого разбиения $P$ существуют такие наборы точек $\xi', \xi''$, что:

$$(1) \quad S(f; p) < \sigma(f; P, \xi') + \varepsilon$$

$$(2) \quad \sigma(f; P, \xi'') - \varepsilon < s(f; p)$$

получаем:

$$(3) \quad |S(f;P) - s(f; P)| \leq |\sigma(f; P, \xi') - \sigma(f; P, \xi'') + 2\varepsilon| < 3\varepsilon$$

значит(именно вот этот переход мне не нравится):

$$(4) \quad \lim\limits_{\lambda \to 0}(S(f;P) - s(f; P)) = 0$$

Почему мне не нравится переход - да потому, что если существуют такие точки на разбиении с диаметром $\lambda < \delta$, это ещё не значит - что для любых выбранных точек верно неравенство (1) и (2). Следовательно (3) верно только для этих "существующих точек", но не для всех, а значит из этого пока ещё не следует (4). Разве нет так? В чьи рассуждения закралась ошибка?

[Otta]

Неравенства (1) и (2) действительно выполнены для некоторого набора точек (определения супремума и инфимума соответственно), но поскольку самое первое, непронумерованное неравенство, верно для любых наборов, то оно выполняется и для этих наборов тоже.

Поэтому неравенство (3) выполнено для этих наборов.

Из этого следует (4), - если Вы запишете определение этого предела, Вы это увидите.
Выражение в (4) от отмеченных точек разбиения не зависит вовсе, и ему наплевать, что Вы там по дороге выбирали.

[main.c]

Otta в сообщении #909850 писал(а):

Из этого следует (4), - если Вы запишете определение этого предела, Вы это увидите.
Выражение в (4) от отмеченных точек разбиения не зависит вовсе, и ему наплевать, что Вы там по дороге выбирали.

Вот в этом то и вся суть, смотрите, (4) по определению эквивалентно тому, что $\forall \varepsilon$существует $\delta$, такое, что разность сумм Дарбу для разбиений c параметром $\lambda < \delta$ меньше, чем $\varepsilon$, тут, я думаю, Вы со мной согласны. Далее, Вы сами говорите, что выражение под знаком предела в (4) не зависит от выбранных точек, то есть верно для всех наборов точек. Но (3) при выбранном $\varepsilon$, из данных рассуждений, вообще-то говоря верно только для конкретных наборов точек, не для всех, тут Вы со мной согласны? Если да, то это значит, что из (3) не следует (4), а если нет, то почему?

[Otta]

main.c
Давайте напишем то, что надо доказать.
Вот оно:

main.c в сообщении #909859 писал(а):

$\forall \varepsilon$существует $\delta$, такое, что разность сумм Дарбу для разбиений c параметром $\lambda < \delta$ меньше, чем $\varepsilon$,

Маленько кривовато, но пусть.
Скажите, где здесь участвуют отмеченные точки разбиения? А если нигде, то какая разница, особый ли набор был выбран или произвольный?

[main.c]

Otta в сообщении #909863 писал(а):

main.c
Давайте напишем то, что надо доказать.
Вот оно:

main.c в сообщении #909859 писал(а):

$\forall \varepsilon$существует $\delta$, такое, что разность сумм Дарбу для разбиений c параметром $\lambda < \delta$ меньше, чем $\varepsilon$,

Маленько кривовато, но пусть.
Скажите, где здесь участвуют отмеченные точки разбиения? А если нигде, то какая разница, особый ли набор был выбран или произвольный?

Такое ощущение, что я в упор чего-то непонимаю. В том-то и дело, что в разности сумм в (4) неравенство выполнено для любых точек, а мы пока доказали лишь в (3) для конкретных точек. (1) и (2) не противоречит тому, что для данного разбиения могут существовать такие наборы, что они не выполняются, а значит не выполняется 3, а значит не верно 4. Вот я о чём говорю. Мы доказали опираясь на определённый набор, а не на произвольный, а (4) верно для произвольного набора.

[Otta]

main.c
Ага, и похоже, не поймете, пока явно, в буковках и кванторах не напишете (4) здесь. Напишите, пожалста.

[main.c]

Otta в сообщении #909871 писал(а):

main.c
Ага, и похоже, не поймете, пока явно, в буковках и кванторах не напишете (4) здесь. Напишите, пожалста.

$$\lim\limits_{\lambda \to 0}(S(f;P) - s(f; P)) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: (\lambda < \delta) \Rightarrow |S(f;P) - s(f; P)| < \varepsilon$$

[Otta]

Что-то, как минимум, кванторов не хватает. Еще раз.

[main.c]

Otta в сообщении #909876 писал(а):

Что-то, как минимум, кванторов не хватает. Еще раз.

$$\lim\limits_{\lambda \to 0}(S(f;P) - s(f; P)) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta(\varepsilon) > 0: (\forall \lambda < \delta) \Rightarrow |S(f;P) - s(f; P)| < \varepsilon$$

По-моему и без квантора который я добавил было правильно, или я что-то другое забыл?

[Otta]

Да не лямбда мифическое любое (которое больше нигде не встречается, заметьте, в этой строчке, что уже наводит на нехорошие мысли), а разбиение любое с нужным диаметром. Давайте еще раз, и тогда все должно быть уже видно.

[main.c]

Ура, я кажется понял Так как эта разность не зависит от точек, то найдя такие точки, что эта разность верна мы тем самым доказали, что она верна вообще для любых точек, потому что не зависит от них. Прям камень с души упал. А то как зациклило меня на этом и всё, хоть ты тресни. Спасибо! А насчёт формулы там вот так должно быть:

$$\lim\limits_{\lambda \to 0}(S(f;P) - s(f; P)) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta(\varepsilon) > 0: (\lambda(P) < \delta) \Rightarrow |S(f;P) - s(f; P)| < \varepsilon$$

[Otta]

$$\lim\limits_{\lambda \to 0}(S(f;P) - s(f; P)) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta(\varepsilon) > 0: (\forall P \ \lambda(P) < \delta) \Rightarrow |S(f;P) - s(f; P)| < \varepsilon$$

main.c в сообщении #909881 писал(а):

Так как эта разность не зависит от точек, то найдя такие точки, что эта разность верна мы тем самым доказали, что она верна вообще для любых точек, потому что не зависит от них.

Ей не надо быть верной для любых точек. Ей надо быть верной для произвольного разбиения с диаметром, меньшим выбранного дельта. От точек она не зависит вовсе, как Вы уже заметили. (В качестве дельта годится то, которое фигурирует в критерии Коши, что и доказывается. Взяли это дельта, и вперед.)