ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 5

[Феликс Шмидель]

Лемма 4.9
-------------

Пусть $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ - целые числа удовлетворяющие равенствам (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3).

Пусть числа $a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3$ и $2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2$ не равны нулю и взаимно-просты.

Тогда числа $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ не равны нулю, и числа $a_0, a_1$ - взаимно-просты.

Доказательство:
----------------------

Покажем, что числа $a_0$ и $a_1$ - взаимно-просты.
Предположим обратное, что $a_0$ и $a_1$ имеют общий простой делитель $q$.
Из равенств (4.1.1), (4.1.2), (4.1.3) следует, что числа $a_2, a_4, a_3$ делятся на $q$.
Следовательно, числа $a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3$ и $2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2$ делятся на $q$, что противоречит их взаимной простоте.
Значит, числа $a_0$ и $a_1$ - взаимно-просты.
Что и требовалось.

Поскольку числа $a_0$ и $a_1$ не имеют общих делителей, то они не равны нулю:

(4.9.1) $a_0 \ne 0$ и $a_1 \ne 0$.

Покажем, что $a_3 \ne 0$.
Предположим обратное, что $a_3=0$.
Из равенства (4.2.1) следует, что $a_2 a_4=0$.
Если $a_2=0$ то из равенства (4.1.2) следует, что $a_4=0$, поскольку $a_3=0$.
Если $a_4=0$ то из равенства (4.1.1) следует, что $a_2=0$, поскольку $a_3=0$.
Значит, числа $a_2, a_3, a_4$ равны нулю.
Следовательно, $a_0 a_1=0$, в силу равенства (4.1.3), что противоречит (4.9.1).
Значит, $a_3 \ne 0$.
Что и требовалось.

Покажем, что $a_4 \ne 0$.
Предположим обратное, что $a_4=0$.
Из равенства (4.2.1) следует: $4 a_3^5=a_2^5$, поскольку $a_3 \ne 0$.
Следовательно $4$ является пятой степенью рационального числа, что невозможно.
Значит $a_4 \ne 0$.
Что и требовалось.

Покажем, что $a_2 \ne 0$.
Предположим обратное, что $a_2=0$.
Из равенства (4.2.1) следует: $4 a_3^5=4 a_4^5$, поскольку $a_3 \ne 0$.
Следовательно, $a_3=a_4$.
Следовательно, $a_0=-a_1$, в силу равенства (4.1.1), поскольку $a_3 \ne 0$.
Равенство $a_0=-a_1$ противоречит взаимной простоте чисел $a_0$ и $a_1$.
Значит $a_2 \ne 0$.
Что и требовалось.

[Феликс Шмидель]

Лемма 4.10
-------------

Пусть $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ - целые числа удовлетворяющие равенствам (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3).

Пусть числа $a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3$ и $2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2$ не равны нулю, взаимно-просты, второе число - чётное, и одно из них делится на $5$.

Пусть $a_3>0$.

Пусть $d_0$ - наибольший общий делитель чисел $a_2, a_3, a_4$ ($d_0>0$).
Пусть $a'_2=a_2/d_0, a'_3=a_3/d_0, a'_4=a_4/d_0$.

Пусть $d_2$ - наибольший общий делитель чисел $a'_2$ и $a'_3$ ($d_2>0$).
Пусть $d_4$ - наибольший общий делитель чисел $a'_4$ и $a'_3$ ($d_4>0$).

Тогда $d_0=2 d_2 d_4$, $a_3=10 d_0 (d_2 d_4)^3$.

Число $a_0$ делится на $d_2^3$, число $a_1$ делится на $8 d_4^3$.

Доказательство:
---------------------

Числа $a_2, a_3, a_4$ делятся на $10$, в силу лемм 4.4 и 4.5.

Пусть $p$ - какой-либо простой делитель числа $a_3$.
Числа $a_2, a_3, a_4$ делятся на $p$, в силу лемм 4.3 и 4.5.
Следовательно, $a_0 a_1$ делится на $p$, в силу равенства (4.1.3).
Следовательно, одно из чисел $a_0, a_1$ делится на $p$, а другое нет, поскольку эти числа взаимно-просты, в силу леммы 4.9.

Пусть $p^{t}$ - наибольшая степень числа $p$, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.
Пусть

(4.10.1)
$d_{00}$ - произведение степеней $p^{t}$ простых делителей $p$ числа $a_3$, на которые делится $a_0$,
$d_{01}$ - произведение степеней $p^{t}$ простых делителей $p$ числа $a_3$, на которые делится $a_1$.

Тогда

(4.10.2) $d_0=d_{00} d_{01}$.

Число $a_3$ делится на $p^{4 t-2}$, в силу лемм 4.6 и 4.8.
Если $a_0$ делится на $p$, то наибольшими степенями $p$, на которые делятся числа $a_2, a_4$ являются соответственно $p^{2 t}, p^{t}$, в силу леммы 4.6.
Если $a_1$ делится на $p$, то наибольшими степенями $p$, на которые делятся числа $a_2, a_4$ являются соответственно $p^{t}, p^{2 t}$ если $p \ne 2$ и $p^{t}, p^{2 t-1}$ если $p=2$, в силу лемм 4.6 и 4.8.

Поскольку наибольшей степенью $p$, на которую делится $d_0$ является $p^t$, то:

(4.10.3)
Число $a'_3$ делится на $p^{3 t-2}$.
Если $a_0$ делится на $p$, то наибольшей степенью $p$, на которую делится число $a'_2$ является $p^{t}$, а $a'_4$ не делится на $p$.
Если $a_1$ делится на $p$, то наибольшей степенью $p$, на которую делится число $a'_4$ является $p^{t}$ если $p \ne 2$ и $p^{t-1}$ если $p=2$, а $a'_2$ не делится на $p$.

Значит:

(4.10.4)
Число $d_2$ является произведением степеней $p^{t}$ простых делителей $p$ числа $a_3$, на которые делится $a_0$,
Число $d_4$ является произведением степеней $p^t$ простых делителей $p \ne 2$ числа $a_3$, на которые делится $a_1$ и степени $p^{t-1}$ при $p=2$.

Из (4.10.1) и (4.10.4) следует:

(4.10.5) $d_{00}=d_2$, $d_{01}=2 d_4$.

Из (4.10.2) и (4.10.5) следует:

(4.10.6) $d_0=2 d_2 d_4$.

Из (4.10.4) следует:

(4.10.7) Число $d_2 d_4$ является произведением степеней $p^t$ простых делителей $p \ne 2$ числа $a_3$ и степени $p^{t-1}$ при $p=2$.

Число $a_3$ является произведением степеней $p^{4 t}$ простых делителей $p \ne 2, 5$ числа $a_3$, степени $p^{4 t+1}$ при $p=5$ и степени $p^{4 t-2}$ при $p=2$, в силу лемм 4.7 и 4.8.

Следовательно:

(4.10.8) $a_3=5 \cdot 2^2 (d_2 d_4)^4$, в силу (4.10.7).

Из (4.10.6) и (4.10.8) следует:

(4.10.9) $a_3=10 d_0 (d_2 d_4)^3$.


Пусть $p$ - какой-либо простой делитель числа $a_3$.
Пусть $p^{t}$ - наибольшая степень числа $p$, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.

Если $a_0$ делится на $p$, то $a_0$ делится на $p^{3 t}$, в силу леммы 4.6.
Если $a_1$ делится на $p$, то $a_1$ делится на $p^{3 t}$ в силу лемм 4.6 и 4.8.

Из (4.10.4) следует, что $a_0$ делится на $d_2^3$, и $a_1$ делится на $8 d_4^3$.
Что и требовалось.

[Феликс Шмидель]

Лемма 4.11
--------------

Пусть $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ - целые числа удовлетворяющие равенствам (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3).

Пусть числа $a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3$ и $2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2$ не равны нулю, взаимно-просты, второе число - чётное, и одно из них делится на $5$.

Пусть $a_3>0$.

Пусть $d_0$ - наибольший общий делитель чисел $a_2, a_3, a_4$ ($d_0>0$).
Пусть $a'_2=a_2/d_0, a'_3=a_3/d_0, a'_4=a_4/d_0$.

Пусть $d_2$ - наибольший общий делитель чисел $a'_2$ и $a'_3$ ($d_2>0$).
Пусть $d_4$ - наибольший общий делитель чисел $a'_4$ и $a'_3$ ($d_4>0$).

Пусть $c_0=a_0/d_2^3, c_1=a_1/(8 d_4^3), c_2=a'_2/d_2, c_4=a'_4/d_4$

Тогда выполняются равенства:

(4.11.4)
$d_0=2 d_4 d_2$,
$a_2=d_0 d_2 c_2$,
$a_4=d_0 d_4 c_4$,
$a_3=10 d_0 (d_2 d_4)^3$,
$a_0=d_2^3 c_0$,
$a_1=8 d_4^3 c_1$.

Также выполняются равенства:

(4.11.1) $c_0 c_4+80 c_1 d_4^5+c_2^2=0$,
(4.11.2) $5 c_0 d_2^5+4 c_1 c_2+c_4^2=0$,
(4.11.3) $c_0 c_1+c_2 c_4+50 d_2^5 d_4^5=0$.

Числа $a'_2$ и $a'_4$ - взаимно-просты.
Числа $c_0, c_1, c_2, c_4$ - целые, нечётные, не делящиеся на $5$ и попарно взаимно-простые.

Доказательство:
------------------

Равенства (4.11.4) выполняются в силу леммы 4.10 и определения чисел $d_0, d_2, c_2, d_4, c_4, c_0, c_1$.
Подставим значения чисел $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ из равенств (4.11.1) в равенства (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3):

d0:=2*d4*d2;
a2:=d0*d2*c2;
a4:=d0*d4*c4;
a3:=d0*10*(d2*d4)^3;
a0:=d2^3*c0;
a1:=8*d4^3*c1;

2*a0*a4+2*a1*a3+a2^2;
a0*a3+a1*a2+a4^2;
a0*a1+2*a2*a4+a3^2;

Получим равенства (4.11.1), (4.11.2), (4.11.3).

Числа $c_0$ и $c_1$ - целые, поскольку число $a_0$ делится на $d_2^3$, и число $a_1$ делится на $8 d_4^3$, в силу леммы 4.10.
Числа $c_2$ и $c_4$ - целые по определению чисел $d_2$ и $d_4$.

Покажем, что числа $a'_2$ и $a'_4$ - взаимно-просты.
Предположим обратное, что числа $a'_2$ и $a'_4$ не взаимно-просты.
Пусть числа $a'_2$ и $a'_4$ делятся на простое число $p$.
Тогда числа $a_2$ и $a_4$ делятся на $p$.
Если $a_3$ не делится на $p$, то из равенства (4.1.3) следует, что $a_0 a_1$ не делится на $p$, что противоречит равенству (4.1.2), поскольку из него следует, что $a_0 a_3$ делится на $p$.
Значит $a_3$ делится на $p$.
Следовательно, $a_0 a_1$ делится на $p$, в силу равенства (4.1.3).
Следовательно, одно из чисел $a_0, a_1$ делится на $p$, а другое нет, поскольку эти числа взаимно-просты, в силу леммы 4.9.
Пусть $p^t$ - наибольшая степень числа $p$, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.
Тогда одно из чисел $a_2$ и $a_4$ делится на $p^t$ и не делится на $p^{t+1}$, в силу лемм 4.6 и 4.8.
Следовательно, одно из чисел $a'_2$ и $a'_4$ не делится на $p$.
Это противоречит тому, что $a'_2$ и $a'_4$ делятся на $p$.
Значит:

(4.11.5) числа $a'_2$ и $a'_4$ взаимно-просты.

Что и требовалось.

Числа $c_0$ и $c_1$ - взаимно-просты, поскольку числа $a_0$ и $a_1$ - взаимно-просты, в силу леммы 4.9.
Числа $c_2$ и $c_4$ - взаимно-просты, поскольку числа $a'_2$ и $a'_4$ - взаимно-просты, в силу (4.11.5).

Покажем, что числа $c_0 c_1$ и $c_2 c_4$ - взаимно-просты.
Предположим обратное, что числа $c_0 c_1$ и $c_2 c_4$ делятся на простое число $p$.
Тогда $a_0 a_1$ и $a_2 a_4$ делятся на $p$, следовательно $a_3$ делится на $p$, в силу равенства (4.1.3).
Следовательно, числа $a_2, a_3, a_4$ делятся на $p$, в силу лемм 4.3 и 4.5.
Одно из чисел $a_0, a_1$ делится на $p$, а другое нет, поскольку эти числа взаимно-просты, в силу леммы 4.9, и $a_0 a_1$ делится на $p$.
Пусть $p^t$ - наибольшая степень числа $p$, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.
Тогда $d_0$ делится на $p^t$ и не делится на $p^{t+1}$.
Следовательно $2 d_2 d_4$ делится на $p^t$ и не делится на $p^{t+1}$, поскольку $d_0=2 d_2 d_4$, в силу леммы 4.10.
Число $a_0 a_1$ делится на $p^{3 t}$ и не делится на $p^{3 t+1}$, в силу лемм 4.6 и 4.8.
Следовательно, $c_0 c_1$ не делится на $p$, поскольку $c_0 c_1=(a_0 a_1)/(2 d_2 d_4)^3$.
Это противоречит предположению, что $c_0 c_1$ делится на $p$.
Значит:

(4.11.6) числа $c_0 c_1$ и $c_2 c_4$ - взаимно-просты.

Что и требовалось.

Поскольку числа $c_0$ и $c_1$, $c_2$ и $c_4$, $c_0 c_1$ и $c_2 c_4$ - взаимно-просты, то числа $c_0, c_1, c_2, c_4$ - попарно взаимно-просты.

Числа $c_0, c_1, c_2, c_4$ - нечётные и не делятся на $5$, в силу равенства (4.11.3), поскольку числа $c_0 c_1$ и $c_2 c_4$ - взаимно-просты, в силу (4.11.6).

[Феликс Шмидель]

Лемма 5.1
--------------

Пусть $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ - ненулевые целые числа удовлетворяющие равенствам (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3).

Пусть

(5.1.1) $b_1=(a_2^2+4 a_0 a_4)/a_2^2$,
(5.1.2) $b_2=(a_4^2+2 a_1 a_2)/a_4^2$.

Тогда

(5.1.3) $(b_1-1)^2 (b_2-1)^2+8 (b_1-1) (b_2-1)+16 b_1 b_2+16=0$.

Пусть

(5.1.4) $w_1=(b_2 (b_1-1)^2-(b_1^2-14 b_1+5))/4$,
(5.1.5) $w_2=(b_1 (b_2-1)^2-(b_2^2-14 b_2+5))/4$.

Тогда

(5.1.6) $w_1^2=b_1 (-b_1^2+10 b_1-5)$,
(5.1.7) $w_2^2=b_2 (-b_2^2+10 b_2-5)$.

Доказательство:
---------------------

Покажем, что равенство (5.1.3) выполняется.
Подставим значения чисел $b_1$ и $b_2$ из равенств (5.1.1) и (5.1.2) в левую часть равенства (5.1.3):

b1:=(a2^2+4*a0*a4)/a2^2;
b2:=(a4^2+2*a1*a2)/a4^2;

(b1-1)^2*(b2-1)^2+8*(b1-1)*(b2-1)+16*b1*b2+16;

Получим: $32 (2 a_0^2 a_1^2+6 a_0 a_1 a_2 a_4+2 a_0 a_4^3+a_1 a_2^3+a_2^2 a_4^2)/(a_2^2 a_4^2)$.
Это выражение равно нулю, в силу равенства (4.2.4).
Значит, равенство (5.1.3) выполняется.
Что и требовалось.

Пусть

(5.1.8) $v=(b_1-1)^2 (b_2-1)^2+8 (b_1-1) (b_2-1)+16 b_1 b_2+16$.

Тогда $v=0$, в силу (5.1.3).

Покажем, что выполняются следующие равенства:

(5.1.9) $w_1^2-b_1 (-b_1^2+10 b_1-5)-v (b_1-1)^2/16=0$,

(5.1.10) $w_2^2-b_2 (-b_2^2+10 b_2-5)-v (b_2-1)^2/16=0$.

Подставим значения числа $v$ из равенства (5.1.8) и чисел $w_1$ и $w_2$ из равенств (5.1.4) и (5.1.5) в левые части равенств (5.1.9) и (5.1.10):

v:=(b1-1)^2*(b2-1)^2+8*(b1-1)*(b2-1)+16*b1*b2+16;
w1:=(b2*(b1-1)^2-(b1^2-14*b1+5))/4;
w2:=(b1*(b2-1)^2-(b2^2-14*b2+5))/4;

w1^2-b1*(-b1^2+10*b1-5)-v*(b1-1)^2/16;
w2^2-b2*(-b2^2+10*b2-5)-v*(b2-1)^2/16;

Получим: 0, 0.
Значит, равенства (5.1.9) и (5.1.10) выполняются.
Что и требовалось.

Равенства (5.1.6) и (5.1.7) следуют из равенств (5.1.9) и (5.1.10), поскольку $v=0$, в силу (5.1.3).

[Феликс Шмидель]

Лемма 5.2
--------------

Пусть $a_0, a_1, a_2, a_4, c_0, c_1, c_2, c_4, d_0, d_2, d_4$ - ненулевые целые числа, удовлетворяющие равенствам (4.11.4).

Пусть $b_1, b_2$ - рациональные числа, удовлетворяющие равенствам (5.1.1) и (5.1.2).

Тогда

(5.2.1) $b_1=(c_2^2+2 c_0 c_4)/c_2^2$,
(5.2.2) $b_2=(c_4^2+8 c_1 c_2)/c_4^2$.

Доказательство:
---------------------

Подставим значения чисел $d_0, a_0, a_1, a_2, a_4$ из равенств (4.11.4) в равенства (5.1.1) и (5.1.2):

d0:=2*d4*d2;
a2:=d0*d2*c2;
a4:=d0*d4*c4;
a0:=d2^3*c0;
a1:=8*d4^3*c1;

b1:=(a2^2+4*a0*a4)/a2^2;
b2:=(a4^2+2*a1*a2)/a4^2;

Получим равенства (5.2.1) и (5.2.2).

[Феликс Шмидель]

Лемма 5.3.
--------------

Пусть $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ - целые числа удовлетворяющие равенствам (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3).
Пусть $c_0, c_1, c_2, c_4, d_0, d_2, d_4$ - целые числа, которые вместе с числами $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ удовлетворяют равенствам (4.11.4).

Тогда

(5.3.1) $a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3=-d_2 (c_0 c_4^2+4 c_0 c_1 c_2+4 c_2^2 c_4)$,

(5.3.2) $2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2=-4 d_4 (c_1 c_2^2+c_0 c_1 c_4+c_2 c_4^2)$.

Доказательство:
--------------------

Подставляя значения чисел $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ из равенств (4.11.1) в равенства (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3), получим равенства (4.11.1), (4.11.2), (4.11.3).
Код для этой подстановки находится в доказательстве леммы 4.11.

Из равенств (4.2.2) и (4.2.3) следуют равенства:

(5.3.3) $a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3=5 a_0^2-4 (5 a_2^2 a_4/(2 a_3))$,

(5.3.4) $2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2=5 a_1^2-2 (5 a_2 a_4^2/a_3)$.

Подставим значения чисел $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ из равенств (4.11.1) в правые части равенств (5.3.3) и (5.3.4):

d0:=2*d4*d2;
a2:=d0*d2*c2;
a4:=d0*d4*c4;
a3:=d0*10*(d2*d4)^3;

a0:=d2^3*c0;
a1:=8*d4^3*c1;

5*a0^2-4*(5*a2^2*a4/(2*a3));

5*a1^2-2*(5*a2*a4^2/a3);

Получим: $d_2 (5 c_0^2 d_2^5-4 c_2^2 c_4)$ и $4 d_4(80 c_1^2 d_4^5-c_2 c_4^2)$.
Значит:

(5.3.5) $a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3=d_2 (5 c_0^2 d_2^5-4 c_2^2 c_4)$,

(5.3.6) $2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2=4 d_4(80 c_1^2 d_4^5-c_2 c_4^2)$.

Из равенств (5.3.5) и (4.11.2) следует: $a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3=d_2 (c_0 (-c_4^2-4 c_1 c_2)-4 c_2^2 c_4)$, следовательно равенство (5.3.1) выполняется.

Из равенств (5.3.6) и (4.11.1) следует: $2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2=4 d_4 (c_1 (-c_2^2-c_0 c_4)-c_2 c_4^2)$, следовательно равенство (5.3.2) выполняется.

Что и требовалось.

[Феликс Шмидель]

Я вынужден исправить опечатку в доказательстве леммы 4.11 и леммы 5.3.

Цитата:

Подставим значения чисел $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ из равенств (4.11.1) в равенства (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3):

Цитата:

Подставляя значения чисел $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ из равенств (4.11.1) в равенства (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3), получим равенства (4.11.1), (4.11.2), (4.11.3).

исправляется на:

Цитата:

Подставим значения чисел $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ из равенств (4.11.4) в равенства (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3):

Цитата:

Подставляя значения чисел $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ из равенств (4.11.4) в равенства (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3), получим равенства (4.11.1), (4.11.2), (4.11.3).

[Феликс Шмидель]

Лемма 5.4.
--------------

Пусть $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ - ненулевые целые числа удовлетворяющие равенствам (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3).
Пусть $c_0, c_1, c_2, c_4, d_0, d_2, d_4$ - ненулевые целые числа, которые вместе с числами $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ удовлетворяют равенствам (4.11.4).

Пусть $b_1, b_2$ - рациональные числа, удовлетворяющие равенствам (5.2.1) и (5.2.2).
Тогда

(5.4.1) $2000 \cdot 4^{15} (a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3)^5 (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)^{10}=c_2^{24} c_4^{24} ((b_1-1) (b_2+1)+16)^5 ((b_2-1) (b_1+1)+16)^{10}(b_2+1) (b_1+1)^2/((b_1-1) (b_2-1)^2)$

Доказательство:
---------------------

Подставляя значения чисел $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ из равенств (4.11.4) в равенства (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3), получим равенства (4.11.1), (4.11.2), (4.11.3).
Код для этой подстановки находится в доказательстве леммы 4.11.

Из равенств (5.3.1) и (5.3.2) леммы 5.3 следует:

(5.4.2) $(a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3)^5 (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)^{10}=-4^{10} d_2^5 d_4^{10} (c_0 c_4^2+4 c_0 c_1 c_2+4 c_2^2 c_4)^5 (c_1 c_2^2+c_0 c_1 c_4+c_2 c_4^2)^{10}$

Покажем, что выполняются следующие равенства:

(5.4.3) $c_0 c_4^2+4 c_0 c_1 c_2+4 c_2^2 c_4=1/4 c_2^2 c_4 ((b_1-1)(b_2+1)+16)$,
(5.4.4) $c_1 c_2^2+c_0 c_1 c_4+c_2 c_4^2=1/16 c_2 c_4^2 ((b_2-1)(b_1+1)+16)$

Подставим значения $b_1$ и $b_2$ из равенств (5.2.1) и (5.2.2) в правые части равенств (5.4.3) и (5.4.4):

b1:=(c2^2+2*c0*c4)/c2^2;
b2:=(c4^2+8*c1*c2)/c4^2;
(1/4)*c2^2*c4*((b1-1)*(b2+1)+16);
(1/16)*c2*c4^2*((b2-1)*(b1+1)+16);

Получим левые части равенств (5.4.3) и (5.4.4).
Значит, равенства (5.4.3) и (5.4.4) выполняются.
Что и требовалось.

Из равенств (4.11.1) и (4.11.2) следует:

$d_2^5 d_4^{10}=((-c_4^2-4 c_1 c_2)/(5 c_0)) ((-c_2^2-c_0 c_4)/(80 c_1))^2=-1/(5 \cdot 80^2) (1/(c_0 c_1^2)) (c_4^2+4 c_1 c_2) (c_2^2+c_0 c_4)^2$.

Следовательно,

(5.4.5) $d_2^5 d_4^{10}=-1/(40 \cdot 80^2) (1/(c_0 c_1^2)) c_4^2 c_2^4 (b_2+1) (b_1+1)^2$,

поскольку из равенств (5.2.1) и (5.2.2) следует: $c_4^2+4 c_1 c_2=c_4^2 (b_2+1)/2$ и $c_2^2+c_0 c_4=c_2^2 (b_1+1)/2$.

Из равенств (5.2.1) и (5.2.2) следует: $(b_1-1) (b_2-1)^2 c_4^3/128=(2 c_0 c_4)/c_2^2 (8 c_1 c_2)^2/c_4^4 c_4^3/128=c_0 c_1^2$.

Следовательно:

(5.4.6) $c_0 c_1^2=(b_1-1) (b_2-1)^2 c_4^3/128$.

Из равенств (5.4.5) и (5.4.6) следует: $d_2^5 d_4^{10}=-128/(40 \cdot 80^2) (c_2^4/c_4) (b_2+1) (b_1+1)^2/((b_1-1) (b_2-1)^2)$.

Значит:

(5.4.7) $d_2^5 d_4^{10}=-1/2000 (c_2^4/c_4) (b_2+1) (b_1+1)^2/((b_1-1) (b_2-1)^2)$.

Из равенств (5.4.2), (5.4.3), (5.4.4) и (5.4.7) следует равенство (5.4.1).

[Феликс Шмидель]

Оказалось, что это доказательство не просто закончить, и я не буду пытаться сделать это.
Даже если бы это удалось, доказательство нельзя обобщить на высшие степени, а для пятой степени есть гораздо более простые доказательства.