Найти общий интгерал дифф. уравнения

[SlayZar]

Требуется решить простое дифф. уравнение $xdx=-ydy$
Надо указать его общий интеграл Ф$(x,y,C)=0.$ При всех ли значениях параметра $C$ существуют решения уравнения? Найти также общее решение вида $y=y(x,C)$ и указать его область определения.

Уравнение простое. Интегрируем и получаем.
$\frac{y^2}{2}+C_1=-\frac{x^2}{2}+C_2$

Ф$(x,y,C) = y^2+x^2+2C_1-2C_2=0$ Подскажите, пожалуйста, правильно ли, что это и есть общий интеграл и он существует при $C=2C_2-2C_1$ когда $C>=0$ или надо как-то отдельно рассматривать $C_1$ и $C_2$?

$y(x,C) = \sqrt{-x^2+C}$
А областью определения уже будут все $C>=x^2$ или под областью определения подразумевается допустимые значения икса?

[SpBTimes]

Зачем вам разные константы? Общий интеграл будет

$$\Phi(x, y, C) = y^2 + x^2 + C$$

.
Конечно, решения у уравнения $\Phi(x, y, C) = 0$ существуют лишь при $C < 0$.

Область определения решения - это возможные иксы. Для каждого допустимого $C$ они свои.

[ИСН]

SlayZar в сообщении #909128 писал(а):

или надо как-то отдельно рассматривать $C_1$ и $C_2$?

Совершенно не надо. Настолько, что даже один раз писать их отдельно было излишним.

SlayZar в сообщении #909128 писал(а):

А областью определения уже будут все $C>=x^2$ или под областью определения подразумевается допустимые значения икса?

Второе.

[Утундрий]

(Оффтоп)

А если бы там был ещё и $z$...

[SlayZar]

То есть получается допустимые значения $C<=0$ а $y=\sqrt{-x^2+C} $ Но тогда мы будем извлекать корень из отрицательного числа... Областью же определения у нас тогда будет $x=[-\sqrt{C};\sqrt{C}]$

-- 18.09.2014, 15:29 --

Или же $C<0$ - это только для общего интеграла, а здесь С любым может быть?!

[SpBTimes]

А вы знаете, что такое общий интеграл?

SlayZar в сообщении #909138 писал(а):

То есть получается допустимые значения $C<=0$

И какое же решение при $C = 0$?

-- Чт сен 18, 2014 14:39:34 --

SlayZar в сообщении #909138 писал(а):

Областью же определения у нас тогда будет $x=[-\sqrt{C};\sqrt{C}]$

??

[SlayZar]

SpBTimes в сообщении #909142 писал(а):

А вы знаете, что такое общий интеграл?

Ну общий интеграл - функция Ф(x,y,C)=0 такая, что при дифференциировании, убрав С мы получим искомое дифф. уравнение.

SpBTimes в сообщении #909142 писал(а):

И какое же решение при $C = 0$?

Получается только x=0 и y=0. Или это не будет являться решением?

SpBTimes в сообщении #909142 писал(а):

SlayZar в сообщении #909138 писал(а):

Областью же определения у нас тогда будет $x=[-\sqrt{C};\sqrt{C}]$

??

А что не так? Мы же получили $y(x,C) = \sqrt{-x^2+C}$ . Из условии, что подкоренное выражение неотрицательно мы соответственоо получаем $x=[-\sqrt{C};\sqrt{C}]$

[Lia]

SlayZar
Замечание за неоформление формул.

[ИСН]

SlayZar в сообщении #909155 писал(а):

Получается только x=0 и y=0. Или это не будет являться решением?

У функции, определённой только в одной точке, производной нету вообще. Поэтому все диффуры ей - что рыбе лыжи.

[SlayZar]

ИСН в сообщении #909160 писал(а):

SlayZar в сообщении #909155 писал(а):

Получается только x=0 и y=0. Или это не будет являться решением?

У функции, определённой только в одной точке, производной нету вообще. Поэтому все диффуры ей - что рыбе лыжи.

Да, точно, спасибо. А область определения найдена верно, да?

[SpBTimes]

SlayZar в сообщении #909166 писал(а):

А область определения найдена верно, да?

Нет, у вас ведь $C$ отрицательно. При переносе вы должны изменить знак, иначе корень извлекать нехорошо

[SlayZar]

SpBTimes в сообщении #909266 писал(а):

SlayZar в сообщении #909166 писал(а):

А область определения найдена верно, да?

Нет, у вас ведь $C$ отрицательно. При переносе вы должны изменить знак, иначе корень извлекать нехорошо

Не совсем понимаю, как мы можем изменить знак? У нас $y = \sqrt{-x^2+C}$ Тогда $-x^2+C>=0$ и нам все равно придется извлекать корень из отрицательного $C$, что понятное дело неверно, но, а как тогда быть?

\leq, \geq $\leq, \geq$

[SpBTimes]

Вы из общего интеграла перенесли $C$ слева направо, значит...

[SlayZar]

Значит нам надо изменить знак С?
$y(x,C) = \sqrt{-x^2-C}$

[SpBTimes]

Да