Вычеты, точка ветвления и незамкнутый контур.

[andre_a_no]

Получил задание вычислить интеграл с помощью техники вычетов $\int_{-1}^1 \frac{\sqrt{1-x^2}}{8+x^2} dx$. В качестве указания сказали, что нужно взять контур, напоминающий гантелю, состоящий из двух окружностей с центрами в точках -1 и 1, а также двух отрезков, соединяющие эти окружности (от -1+r до 1-r и от 1-r до -1+r).

Это все замечательно, но никак не могу взять в толк, что же со всем этим делать. Получается, что контур разбивается на четыре части. Внутри двух из них надо считать вычеты. Интегралы же по отрезкам и так ясно равны по модулю и противоположны по знаку. Как это помогает вычислить интеграл - не понимаю.

[Brukvalub]

Вы учли многолистность корня?

[Red_Herring]

andre_a_no в сообщении #908749 писал(а):

Получается, что контур разбивается на четыре части. Внутри двух из них надо считать вычеты. Интегралы же по отрезкам и так ясно равны по модулю и противоположны по знаку

Вычеты надо считать внутри единого контура и интегралы по отрезкам не сокращаются (см пост Brukvalub); поэтому то интеграл по отрезку и выражается через все остальные. Гантеля же состоит из двух дуг окружностей и двух отрезков (берега разреза)

$\begin{tikzpicture} \draw (-1,.05)--(1,.05); \draw (-1,-.05)--(1,-.05); \filldraw[fill=white] (-1,0) circle (.2); \filldraw[fill=white] (1,0) circle (.2); \fill[white] (-1,-.04) rectangle (1,.04) \end{tikzpicture}$

При этом и толщина ручки и радиусы кругов следует устремить к $0$ (в какой последовательности—думайте сами)

[andre_a_no]

Да, я понял теперь, что не сокращаются - в этом основное непонимание и крылось. А вообще так-то зачем двух дуг, можно же взять просто окружности целиком, нет? А отрезки один лежит просто поверх другого ([-1+r,1-r]) на разных листах. Там только один параметр остается. Его стремим к нулю. Интегралф по окружностям в таком случае тоже стремятся к нулю. Тогда интеграл по этому контуру равен удвоенному искомому.

[Lia]

andre_a_no
Замечание за неоформление формул в $\TeX$.