Математ. индукция, сколько элементов базы надо проверить

[rodo_by]

Требуется доказать некоторое свойство чисел Фибоначчи,
в переходе я буду использовать утверждение
$\[{F_{n + 2}} = {F_{n}} + {F_{n + 1}}\]$

сколько элементов базы надо проверить.

Я бы проверил только один, но на лекции был пример, когда доказывалось неверное утверждение для чисел Фибоначчи, потому что в базе был проверен только один элемент, а в переходе использовалось два.

Понятно поэтому здесь надо как минимум проверять для n=0 и n=1,
но как мне кажется надо проверить и для n=2, так как при n=0 мое утверждение примет вид
$\[{F_{ 2}} = {F_{0}} + {F_{1}}\]$

Проверить не проблема и для большего количества элементов, просто хочется для себя разъяснить этот момент.
Спасибо.

[ИСН]

У Вас переход индукции имеет какой вид? Если что, то что?

[Brukvalub]

В правой части рекуррентного выражения используются два предыдущих члена, поэтому базу индукции нужно проверять для первых двух членов.

[rodo_by]

Brukvalub в сообщении #908761 писал(а):

В правой части рекуррентного выражения используются два предыдущих члена, поэтому базу индукции нужно проверять для первых двух членов.

Спасибо.

Еще вопрос, если
последовательность чисел Фибоначчи $\left\{F_n\right\}$ задается :

$F_0 = 0,\qquad F_1 = 1,\qquad F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad n\geqslant 2$

то надо ли как-то дополнительно доказывать выражение

$\[{F_{n + 2}} = {F_n} + {F_{n + 1}}\]$

или это очевидно?

[Aritaborian]

Очевидно.

[ewert]

Что значит "очевидно". Это надо формально обосновывать соотв. заменой переменной, которая и впрямь очевидна, но формально -- надо.

[arseniiv]

Заменой и коммутативностью сложения! Там слагаемые наоборот (не пойму только, зачем — разве это лучше смотрится?).

[ewert]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #909124 писал(а):

Там слагаемые наоборот (не пойму только, зачем — разве это лучше смотрится?)

Нет, явно просто по рассеянности или, что то же, из-за безнадобности. А вот замена -- формально всё-таки необходима. Я по своему опыту сужу: постоянно приходится произносить пару заклинаний в подобных случаях. Другое дело, что я если и говорю, то обычно лишь "сделаем мысленно замену".

[arseniiv]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #909212 писал(а):

Нет, явно просто по рассеянности или, что то же, из-за безнадобности.

В общем, это у ТС два раза. Может, и копипаста. Про замену согласен, хотя и с «очевидно» тоже — очевидной заменой.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

ewert, «это очевидно» значит буквально следующее: «это достаточно легко показать; настолько легко, что не видим необходимости выписывать явно; впрочем, обязательно найдётся зануда, который попросит всё явно выписать».

[Evgenjy]

Brukvalub в сообщении #908761 писал(а):

В правой части рекуррентного выражения используются два предыдущих члена, поэтому базу индукции нужно проверять для первых двух членов.

Ряд Фибоначи не обязательно задавать рекуррентным выражением. Можно формулой, как зависимость от номера числа, используя золотое сечение или детерминанты матрицы специального вида. Так что база зависит не от рекуррентной формулы а оттого, как и что мы доказываем.

[gefest_md]

rodo_by в сообщении #908751 писал(а):

сколько элементов базы надо проверить

Базис проверяется для одного элемента. Таков принцип "обычной" индукции. Просто все остальные случаи разбираются в индукционном шаге.

[bot]

Вы 3-е сообщение в теме видели? По-вашему же получается, что последовательность, построенная по рекуррентной формуле $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$, не зависит от $a_{2}$. Это с очевидностью неверно.

[gefest_md]

Brukvalub в сообщении #908761 писал(а):

В правой части рекуррентного выражения используются два предыдущих члена

Значит здесь используется "сильная" индукция и доказывается, что $\forall n(\forall k<nP(F_k)\to P(F_n)).$