Электростатический потенциал

[amon]

мат-ламер в сообщении #908154 писал(а):

Я думаю, это означает, что потенциал шара равен потенциалу бесконечно удалённой точки.

Правильно думаете!

[tech]

Тогда ещё вопрос: а как быть если у нас имеется, например, точечный заряд $q$ над бесконечной плоской поверхностью проводника (поверхность делит пространство на два полупространства: верхнее и нижнее)? Всё нижнее полупространство – это проводник; соответственно, его потенциал можно принять за $0$. А будет ли равен (и почему) этому же самому нулю потенциал в бесконечностях верхнего полупространства?

[amon]

В данном случае - да, равен нулю, поскольку все потенциалы убывают на бесконечности. Но бывает что (формально) нельзя. Пример - бесконечная заряженная нить или плоскость. А вообще, по уровню задаваемых вопросов, Вы вполне дозрели до того, что бы взять книжку Тамма "Основы теории электричества" и прочитать ее. Там много интересного написано.

[tech]

Кажется, понял.
В задаче с шариком (незаземлённым, но с нулевым зарядом), мы знаем, например, что потенциал внутри шарика равен $q/d \Leftrightarrow \varphi_{\infty}=0$.
Поэтому когда мы находим изображения заряда $q$, имеем аж два условия, которые выполняются вместе:
1. Потенциал всей системы зарядов (заряда $q$ и его изображений) равен $q/d$ на поверхности.
2. Потенциал всей системы зарядов (заряда $q$ и его изображений) равен нулю на бесконечности.

В задаче же с бесконечным проводником, вообще, неочевидно, что везде в бесконечности потенциал будет одинаковым и равен потенциалу проводника (по крайней мере, для меня). Поэтому здесь мы имеем только одно условие: потенциал проводника равен $\varphi_0$.
Однако легко подобрать изображение, такое, что потенциал системы зарядов на месте, где была поверхность, будет равен $\varphi_0$.
Вид потенциала будет таким: $q/r_q+Q/r_Q+\varphi_0$, где $Q=-q$, и заряды расположены симметрично относительно плоскости.
Таким образом, мы методом тыка нашли решение, и оно (по теореме) единственно. Значит потенциал всюду в бесконечности действительно равен $\varphi_0$.

Большое спасибо за помощь.

[Munin]

amon в сообщении #908283 писал(а):

А вообще, по уровню задаваемых вопросов, Вы вполне дозрели до того, что бы взять книжку Тамма "Основы теории электричества" и прочитать ее. Там много интересного написано.

Вот кстати, метода изображений в Тамме нет. И вообще я его нашёл только в Джексоне.

Может быть, порекомендуете какие-нибудь книги по электричеству с изложением этого метода?

[amon]

Munin в сообщении #908424 писал(а):

Вот кстати, метода изображений в Тамме нет

Таки нет,увы. Я Тамма рекомендовал, поскольку, IMHO, это лучшая книга для первого серьезного изучения этой науки. (По крайней мере я после нее начал что-то понимать, правда давно это было...) Метод изображений есть в ЛЛ8 (Электродинамика сплошных сред). Из нее tech'у полезно посмотреть третий параграф, но всю книгу (как и ЛЛ2) я как первый учебник не рекомендовал бы. Джексон тоже неплох. В качестве дополнения к Тамму я бы рекомендовал такую малоизвестную, но очень хорошую книжку (тоненькую, с механику ЛЛ): А.Н. Васильев "Классическая электродинамика. Краткий курс лекций." (в колхозе ее, по-моему, нет, но могу поделиться) Все вышеизложенное - IMHO.

PS У Тамма в примере в конце 13 параграфа изложена идея метода изображений, так что не то, что бы совсем его нет.

[Munin]

amon в сообщении #908428 писал(а):

Я Тамма рекомендовал, поскольку, IMHO, это лучшая книга для первого серьезного изучения этой науки.

+1 Соглашусь. И потом, как справочник формул, полезен.

Метод отражений, как я запоздало сообразил, рассказывается в учебниках ураматов (поскольку есть один из способов решения уравнений эллиптического типа). Бегло просмотрев, я его нашёл у Владимирова (-Жаринова), и у Тихонова-Самарского. И там и там он используется не per se, для окончательного ответа задачи с точечным зарядом, а для построения функции Грина в области с отражающими границами.

[DimaM]

Munin
В задачнике Батыгина и Топтыгина про метод изображений есть, хотя и не очень много (зато решения задач расписаны).
В книжке Батыгина по электродинамике побольше.

[Munin]

Спасибо!

[amon]

Ну, если так глубоко рыть, то основы метода изображений (правда, по-моему, без упоминания этого слова) есть во втором томе параграф 1 главы 4 Куранта-Гильберта.

[Munin]

Мне бы больше не основы, а побольше задач и ситуаций, когда он применим.

[Nemiroff]

Есть брошюрка Котельникова "Две задачи на метод изображений". Там бесконечно много фиктивных зарядов.

[Himfizik]

Munin в сообщении #908655 писал(а):

Мне бы больше не основы, а побольше задач и ситуаций, когда он применим.

Несколько хороших примеров в 2D и 3D есть в книжице В. Смайта "Электростатика и электродинамика". Там и про инверсию изображений, и про конформные отображения. Вообще книга изобилует примерами решения классических задач электродинамики.

[Munin]

Nemiroff в сообщении #908665 писал(а):

Есть брошюрка Котельникова "Две задачи на метод изображений". Там бесконечно много фиктивных зарядов.

О, отличная книга! Точно в цель!

Himfizik
Посмотрю.

-- 17.09.2014 14:57:10 --

DimaM в сообщении #908533 писал(а):

В книжке Батыгина по электродинамике побольше.

А что за книжка?

Есть Топтыгин "Современная электродинамика" 2002. На титульном листе только Топтыгин, в выходных данных Батыгин, Топтыгин.

Была какая-то другая книга, или речь об этой?

[Munin]

Всем.

Пройдясь по ссылкам из задачника Батыгина, Топтыгина, добрался до шикарной книжки
Смайт. Электростатика и электродинамика.
Там, конечно, не только метод изображений, а вместе с другими методами, но очень подробно.

Ещё скачиваю
Гринберг. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений.
тоже ожидаю хорошего.

-- 17.09.2014 18:02:41 --

Супер! 700 страниц сплошных методов. Одно оглавление 20 страниц. Великий справочник.