множество значений p-адической нормы

[dolphin]

Почему в качестве множества значений p-адической нормы рационального числа используются неотрицательные вещественные числа ? Интересно увидеть хотя бы один пример, когда p-адическая норма рационального числа является не рациональным, а именно вещественным числом.

[ex-math]

Ее множество значений -- нуль и $p^n$, $n\in\mathbb{Z}$.

[dolphin]

Все правильно, но открываем книгу Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел - МЦНМО, 2009, 552 с. на странице 154 и читаем:
|\,\cdot\,|_p: \textbf{Q} \to \textbf{R} \geq 0

[mihailm]

dolphin, и что вы предлагаете?

[ex-math]

Функция $y=x^2$ тоже имеет значения в $\mathbb{R}$, однако отрицательных квадратов вещественных чисел пока не нашли. Область значений не обязана совпадать с множеством, в которое отображает функция, это только для сюръекций так.

[alcoholist]

dolphin в сообщении #908123 писал(а):

Интересно увидеть хотя бы один пример, когда p-адическая норма рационального числа является не рациональным, а именно вещественным числом

откроем тайну: любое целое число является вещественным,
а $p$-адическая норма по определению -- это число вида $p^{-n}$, $n\in\mathbb{Z}$, оно рационально

[dolphin]

Пока никто так и не объяснил эту формулу |\,\cdot\,|_p: \textbf{Q} \to \textbf{R} \geq 0
А она не ограничивается данной книгой, например открываем википедию и видим ее же:
http://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_order#p-adic_Norm

[Otta]

dolphin в сообщении #908341 писал(а):

Пока никто так и не объяснил эту формулу $|\,\cdot\,|_p: \textbf{Q} \to \textbf{R} \geq 0$

Здесь нет формулы. Здесь указание, откуда и куда действует отображение. Что именно требуется объяснить? Откуда? это у Вас не вызывает вопросов. Куда? значения нормы известны, и каждое из них действительно является неотрицательным вещественным числом. Есть ли среди них нерациональные? Нет. Ну и что. Это не помешает этой записи, она верна.

Вам это объяснял каждый в этой теме. Что еще Вы хотите знать?

(Оффтоп)

И оформляйте формулы нормально, пожалуйста, ставьте доллары по краям, чтобы тем, кто Вас цитирует, не приходилось делать это за Вас.

[dolphin]

Otta, никто (и Вы в том числе) так и не ответил на вопрос с которого и начинается тема. Мое мнение - это сделано для формального уравнивания множества значений абсолютной и p-адической норм при их последующем применении соответственно к вещественным и p-адическим числам.

[Otta]

Это не множество значений.
Вы удовлетворены? )
Могли вообще написать $\mathbb R$. Могли написать $\mathbb Q_{\ge 0}$. Но это не снимало бы аналогичных вопросов. Как удобно, так и пишут.

Де-факто, вопрос сводится к такому: как может быть выбрано множество $Y$ в записи $f:X\to Y$. По-всякому оно может быть выбрано. И вовсе не обязано совпадать с множеством значений (когда отображение будет сюръективным). Единственно, оно обязано это множество содержать, чтобы $f(X)\subset Y$, иначе отображение не будет корректно определено.

[alcoholist]

dolphin в сообщении #908361 писал(а):

Мое мнение - это сделано для формального уравнивания множества значений абсолютной и p-адической норм при их последующем применении соответственно к вещественным и p-адическим числам

можно написать

$$|\cdot|:\mbox{что-то}\to\mbox{всё-всё-всё}$$

и это не уравнивание никакое