Интеграл от тригонометрической функции

[dinamo-3]

Пытаюсь взять интеграл, но попадаю в тупик:
$\int\sqrt{a^2-\sin^2(x)}dx$
Использую замену:
$a^2-\sin^2(x)=t^2;   x=\arcsin(\sqrt{a^2-t^2});   dx=-\frac{tdt}{\sqrt{(1-a^2+t^2)(a^2-t^2)}};$
$\int\sqrt{a^2-\sin^2(x)}dx=-\int \frac{t^2   dt}{\sqrt{(1-a^2+t^2)(a^2-t^2)}}$
Получилось ещё сложнее, чем было. Я выбрал неверный метод решения?

[gris]

А он, наверное, и не берётся в элементарных, кроме частного случая $a^2=1$. Что-то эллиптическое в нём проглядывается.

[main.c]

Скорее всего автор задачника имел ввиду:
$\int\sqrt{a^2-a^2\sin^2(x)}dx$
Хотя это получается совсем уж простой интеграл. Но тот, который Вы привели выше явно не берущийся.

[dinamo-3]

main.c в сообщении #907569 писал(а):

Скорее всего автор задачника имел ввиду:
$\int\sqrt{a^2-a^2\sin^2(x)}dx$
Хотя это получается совсем уж простой интеграл. Но тот, который Вы привели выше явно не берущийся.

$\cdots=-\int \frac{t^2   dt}{\sqrt{(1-a^2+t^2)(a^2-t^2)}}$ можно перевести в вид:

$\int{\sqrt{\frac{a^2-z^2}{1-z^2}}}dz$ , если сделать замену:   $a^2-t^2=z^2;   dt=-\frac{zdz}{\sqrt{a^2-z^2}}$

[Ms-dos4]

dinamo-3
Ваш интеграл в одно действие приводится к неполному эллиптическому 2-го рода $\[\int {\sqrt {{a^2} - {{\sin }^2}x} } dx = a\int {\sqrt {1 - \frac{1}{{{a^2}}}{{\sin }^2}x} } dx = aE(x,\frac{1}{a}) + C\]$. В элементарных, конечно, не берётся
А то что вы сделали - только запутывает ситуацию, хотя вы пришли просто к другой форме записи эллиптического интеграла 2-го рода

[dinamo-3]

Ms-dos4 в сообщении #907663 писал(а):

dinamo-3
Ваш интеграл в одно действие приводится к неполному эллиптическому 2-го рода $\[\int {\sqrt {{a^2} - {{\sin }^2}x} } dx = a\int {\sqrt {1 - \frac{1}{{{a^2}}}{{\sin }^2}x} } dx = aE(x,\frac{1}{a}) + C\]$. В элементарных, конечно, не берётся
А то что вы сделали - только запутывает ситуацию, хотя вы пришли просто к другой форме записи эллиптического интеграла 2-го рода

А что означает $aE(x,\frac{1}{a})$ ?

[ИСН]

Что интеграл не берётся в элементарных функциях.

[dinamo-3]

Я немного почитал про элиптические интегралы и там сказано, что с помощью их можно находить длину синусоиды, но вот примеров никаких.

[ИСН]

Можно, конечно. Пример привёл Ms-dos4 выше.

[upgrade]

при больших значениях $a$ ($a>10^5$) подинтегральное выражение слабо зависит от $\sin^2x$.

на малых ($a<10^{-5}$) подинтегральное выражение либо близко к нулю (когда $x<10^{-5}$) либо слабо зависит от $a$.