Открытое множество – объединение интервалов

[Dandeliona]

Доказательство факта в книге Дьяченко-Ульянова: http://bookre.org/reader?file=441801&pg=41

Не поняла, почему введенное там отношение ($A$ - открытое множество в $\mathbb R$, $x \sim y$ если $(x,y)\subset A$) называется отношением эквивалентности, а именно, откуда берутся симметричность и транзитивность:
1) Если интервал $(x,y)\subset A$, то $(y,x)\subset A$?
2) Если $(x,y)\subset A$ и $(y,z)\subset A$, то $(x,z)\subset A$?

[popolznev]

Сдается мне, что под интервалом $(x,y)$ надо понимать (в этом контексте) $\bigl(\min(x,y), \max(x,y)\bigr)$. Тогда $(x,y)$ и $(y,x)$ - одно и то же.

А вот с транзитивностью правда непонятно: если $A = \mathbb{R}\setminus\{0\}$, $x=-1, y=0, z=1$, то $(x,y) \subseteq A$, $(y,z) \subseteq A$, но $(x,z)$ не является подмножеством $A$.

[nnosipov]

popolznev в сообщении #907529 писал(а):

А вот с транзитивностью правда непонятно: если $A = \mathbb{R}\setminus\{0\}$, $x=-1, y=0, z=1$, то $(x,y) \subseteq A$, $(y,z) \subseteq A$, но $(x,z)$ не является подмножеством $A$.

Некорректный контрпример: речь идёт об отношении эквивалентности на множестве $A$, а $y=0$ не принадлежит $A$.

[Evgenjy]

В книге ошибка. Должно быть так:
$x \sim y$ если существует интервал $(a,b)\subset A$ такой, что $x, y \in (a, b)$

[Skeptic]

Некорректное использование термина "интервал". Правильнее использовать термин "подмножество" или "отрезок".

[nnosipov]

Evgenjy в сообщении #907535 писал(а):

В книге ошибка. Должно быть так:
$x \sim y$ если существует интервал $(a,b)\subset A$ такой, что $x, y \in (a, b)$

Ошибки нет. Это ровно то же самое отношение эквивалентности.

Skeptic в сообщении #907536 писал(а):

Некорректное использование термина "интервал".

Ничего подобного.

[Evgenjy]

nnosipov в сообщении #907539 писал(а):

Ошибки нет. Это ровно то же самое отношение эквивалентности.

Тогда любые две точки множества эквивалентны. Пусть $x, y \in A$ и $x\ge y$, тогда интервал $(x,y)\subset A$, как пустое множество.

Dandeliona в сообщении #907527 писал(а):

Не поняла, почему введенное там отношение ($A$ - открытое множество в $\mathbb R$, $x \sim y$ если $(x,y)\subset A$) называется отношением эквивалентности

Dandeliona! Чтобы Вам не ломать голову над пестротой мнений этого обсуждения откройте авторитетную книгу: Колмогоров и Фомин "Элементы теории функций..." , глава вторая, параграф второй, пункт 5.

[popolznev]

nnosipov в сообщении #907534 писал(а):

popolznev в сообщении #907529 писал(а):

А вот с транзитивностью правда непонятно: если $A = \mathbb{R}\setminus\{0\}$, $x=-1, y=0, z=1$, то $(x,y) \subseteq A$, $(y,z) \subseteq A$, но $(x,z)$ не является подмножеством $A$.

Некорректный контрпример: речь идёт об отношении эквивалентности на множестве $A$, а $y=0$ не принадлежит $A$.

Ах, да, на множестве $A$, вы правы.

[nnosipov]

Evgenjy в сообщении #907547 писал(а):

Тогда любые две точки множества эквивалентны. Пусть $x, y \in A$ и $x\ge y$, тогда интервал $(x,y)\subset A$, как пустое множество.

Этот момент уже комментировали:

popolznev в сообщении #907529 писал(а):

Сдается мне, что под интервалом $(x,y)$ надо понимать (в этом контексте) $\bigl(\min(x,y), \max(x,y)\bigr)$. Тогда $(x,y)$ и $(y,x)$ - одно и то же.

[Skeptic]

nnosipov в сообщении #907539 писал(а):

Skeptic в сообщении #907536 писал(а):

Некорректное использование термина "интервал".

Ничего подобного.

Интервал имеет строгое определение (см. учебники). Его надо знать, а не фантазировать.

[Evgenjy]

nnosipov в сообщении #907563 писал(а):

Этот момент уже комментировали:

Известны и другие, правильные, способы как исправить указанную ошибку.

[Toucan]

Skeptic, Evgenjy, обоим по замечанию за бессодержательные сообщения.